G. Nebe, M. Kirschmer

Gitter und Codes, WS 08/09

Lösung 6

Aufgabe 1.

Seien a := \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) und b := ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix}) in der Gruppe G_{II}. Dann ist (ab)^{3} = \frac{1+i}{\sqrt{2}} · I_{2}. Wegen (\frac{1+i}{\sqrt{2}})^{2} = i

ist (ab)^{3} = z · I_{2} für eine primitive 8-te Einheitswurzel z ∈ ℂ. Also ist p_{C}(X, Y) ∈ ℂ[X, Y] invariant unter zI_{2}. Sei N = deg(p_{C}) die Länge des Codes. Da p_{C} homogen ist folgt, p_{C}(X, Y) = p_{C}(zX, zY) = z^{N}p_{C}(X, Y). Damit ist z^{N} = 1, also N ∈ 8ℤ.

Aufgabe 2. Seien g := X^{8} + 14X^{4}Y^{4} + X^{8} und △ := X^{4}Y^{4}(X^{4} − Y^{4})^{4}.

(a) Nach dem Satz von Gleason ist p_{C}(X, Y) = g^{6} + rg^{3}△ + s△^{2}. Der Koeffizient von X^{44}Y^{4} ist 84 + r. Dieser ist Null, da d(C) = 12. Also ist r = −84. Der Koeffizient von X^{40}Y^{8} ist s − 246. Also ist s = 246. Es ergibt sich

p_{C}(X, Y) = g^{6} − 84g^{3}△ + 246△^{2}
= X^{48} + 17296X^{36}Y^{12} + 535095X^{32}Y^{16} + 3995376X^{28}Y^{20}

+ 7681680X^{24}Y^{24} + 3995376X^{20}Y^{28} + 535095X^{16}Y^{32} + 17296X^{12}Y^{36} + Y^{48} .

(b) Diesmal ist p_{C}(X, Y) = g^{9} + rg^{6}△ + sg^{3}△^{2} + t△^{3}. Der Koeffizient von X^{68}Y^{4} ist 126 + r, also ist r = −126. Analog folgert man zukzessive s = 3015 und t = −4398. Damit wird

p_{C}(X, Y) = g^{9} − 126g^{6}△ + 3015g^{3}△^{2} − 4398△^{3}
= X^{72} + 249849X^{56}Y^{16} + 18106704X^{52}Y^{20} + 462962955X^{48}Y^{24}
+ 4397342400X^{44}Y^{28} + 16602715899X^{40}Y^{32} + 25756721120X^{36}Y^{36}
+ 16602715899X^{32}Y^{40} + 4397342400X^{28}Y^{44} + 462962955X^{24}Y^{48}
+ 18106704X^{20}Y^{52} + 249849X^{16}Y^{56} + Y^{72} .

Aufgabe 3.

(a) Die Transposition (1, n + 1) vertauscht v mit v + w und läßt d_{2n} invariant.

(b) Es ist dim d_{2n}^{+} = dim z_{2n} = 1 + dim d_{2n} = 1 + dim g_{n} = 1 + (n − 1) = n. Daher genügt es d_{2n}^{+} ⊆ (d_{2n}^{+})^{⊥} und z_{2n} ⊆ z_{2n}^{⊥} zu zeigen. Für c, c′ ∈ g_{n} ist (c, c) · (c′, c′) = 2(c · c′) = 0. Also ist d_{2n} ⊆ d_{dn}^{⊥}. Mit v · v = 0 = w · w und w · (c, c) = 2c_{1} = 0 für alle c ∈ g_{n} sowie v · (c, c) = (1, …, 1) · c = 0 für alle c ∈ g_{n} folgt die Behauptung.

(c) Sei B = (b_{1}, …, b_{2n}) eine Orthogonalbasis von ℝ^{1×2n} mit (b_{i}, b_{i}) = \frac{1}{2} stets. Weiter sei M := ⟨b_{1}, …, b_{2n}⟩_{ℤ}.

(i) Sei (e_{1}, …, e_{n}) eine Basis von 𝔽_{2}^{n}. Dann ist (e_{1} + e_{2}, e_{2} + e_{3}, …, e_{n−1} + e_{n}) ein Basis von g_{n}. Wegen w = (e_{1}, e_{1}) ∈ z_{2n} bilden (e_{1}, e_{1}), …, (e_{n}, e_{n}) eine Basis von z_{2n}. Daher ist {b_{i} + b_{n+i} | 1 ≤ i ≤ n} ∪ {2b_{j} | n + 1 ≤ j ≤ 2n} eine Basis von L_{z_{2n}}. Damit bilden aber auch die 2n Vektoren b_{i} ± b_{n+i} mit 1 ≤ i ≤ n eine Basis von L_{z_{2n}}. Diese Vektoren haben Länge 1 und sind paarweise orthogonal. Das war zu zeigen.

(ii) Wir beginnen mit folgender Bemerkung Sei L ein ganzes Gitter. Dann ist

L^{ev} := {x ∈ L | (x, x) ∈ 2ℤ}

das maximale gerade Teilgitter von L. Weiter ist [L : L^{ev}] = 2 falls L nicht gerade ist.

Beweis: Sicher ist L^{ev} ein ℤ-Teilmodul von L, also ein Teilgitter. Weiter ist L^{ev} per Definition gerade und es enthält jedes andere gerade Teilgitter. Sei nun φ: L → 𝔽_{2}, x ↦ (x, x)+2ℤ. Dann ist φ ein Homomorphismus von abelschen Gruppen mit Kern L^{ev}. Falls L nicht gerade ist, ist φ surjektiv. Daher ist dann [L : L^{ev}] = |𝔽_{2}| = 2.

Nun zur eigentlichen Aufgabe. Im Beweis von Aufgabe 4d auf Blatt 2 haben wir gezeigt, daß 𝔻_{2n} das maximale gerade Teilgitter des Standardgitters ist. Wir behaupten nun, daß L_{d_{2n}} das maximale gerade Teilgitter von L_{z_{2n}} ist. Daraus folgt dann sofort die Behauptung, da Isometrien von ganzen Gittern die maximalen geraden Teilgitter aufeinander abbilden müssen. Wie schon zuvor folgt, daß B′ := {b_{i} + b_{i+1} + b_{n+i} + b_{n+i+1} | 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {2b_{j} | n ≤ j ≤ 2b} eine Basis von L_{d_{2n}} bildet. Da je zwei dieser Vektoren ein ganzzahliges Skalarprodukt haben, ist L_{d_{2n}} ganz. Weiter ist das Skalarprodukt eines Basisvektors mit sich selbst gerade. Also ist L_{d_{2n}} gerade. Es wird L_{z_{2n}} erzeugt von L_{d_{2n}} und b_{1} + b_{n+1}. Wegen 2(b_{1} + b_{n+1}) ∈ 2M ⊆ L_{d_{2n}} ist [L_{z_{2n}} : L_{d_{2n}}] = 2. Daher ist L_{d_{2n}} das maximale gerade Teilgitter von L_{z_{2n}}.

(iii) Es ist L_{d_{2n}^{+}} = ⟨L_{d_{2n}}, x⟩ mit x := ∑_{i=1}^{n} b_{i}. Dann ist (x, x) = \frac{n}{2} ∈ ℤ und (x, b) ∈ ℤ für alle b ∈ B′. Also ist L_{d_{2n}^{+}} ganz. Nach Aufgabe 4d von Blatt 2 besitzt 𝔻_{2n} genau 3 echte ganze Obergitter, nämlich das Standardgitter sowie die Gitter welche wir dort mit L_{1} sowie L_{2} bezeichnet haben. Weiter haben wir dort gezeigt, daß L_{1} isometrisch ist zu L_{2}. Also hat auch L_{d_{2n}} genau drei echte ganze Obergitter. Das Gitter L_{z_{2n}} ist nach (i) isometrisch zum Standardgitter (und von L_{d_{2n}^{+}} verschieden). Also muß L_{d_{2n}^{+}} isometrisch zu L_{1} ≅ L_{2} sein.

(d) Es ist c ∈ g_{n} genau dann, wenn w(c) gerade ist. Also besitzt g_{n} genau \binom{n}{2i} Elemente mit Gewicht 2i. Daher gilt p_{g_{n}}(X, Y) = ∑i=0^{\frac{n}{2}} \binom{n}{2i} X^{n−2i}Y^{2i}. Außerdem folgt, daß d_{2n} genau \binom{n}{2i} Elemente mit Gewicht 4i besitzt. Wegen w(x) ∈ 4ℤ für alle x ∈ d_{2n} folgt p_{d_{2n}}(X, Y) =

∑i=0^{\frac{n}{2}} \binom{n}{2i} X^{2n−4i}Y^{4i}.

Es ist d_{2n}^{+} die disjunkte Vereinigung der beiden Nebenklassen d_{2n} und v + d_{2n}. Wegen v + d_{2n} = {(c + (1, …, 1), c) | c ∈ g_{n}} haben alle Elemente in dieser Nebenklasse das Gewicht n. Damit

wird p_{d_{2n}^{+}}(X, Y) = 2^{deg g_{n}} + p_{d_{2n}}(X, Y) = 2^{(n−1)}X^{n}Y^{n} + ∑i=0^{\frac{n}{2}} \binom{n}{2i} X^{2n−4i}Y^{4i}.

Aus (c)(i) wissen wir, daß z_{2n} = \{(x, x) | x ∈ 𝔽_{2}^{n}\}. Also gibt es genau \binom{n}{i} Elemente mit Gewicht 2i in z_{2n}. Daher ist p_{z_{2n}}(X, Y) = ∑_{i=0}^{n} \binom{n}{i} X^{2(n−i)}Y^{2i} = (X^{2} + Y^{2})^{n}.

(e) Da g_{n} gerade ist, ist d_{2n} doppelt gerade. Weiter besitzen alle Elemente in v + d_{2n} nach (d) ebenfalls Gewicht n ∈ 4ℤ. Also ist d_{2n}^{+} doppelt gerade. Bleibt zu zeigen, daß der Code d_{16}^{+} das Minimum 4⌊\frac{16}{24}⌋ + 4 = 4 hat.

Nach Teil (d) ist

p_{d_{16}^{+}}(X, Y) = 2^{7}X^{8}Y^{8} + X^{16} + 28X^{12}Y^{4} + 70X^{8}Y^{8} + 28X^{4}Y^{12} + Y^{16} = (X^{8} + Y^{8} + 14X^{4}Y^{4})^{2} .

Insbesondere lesen wir als Minimum 4 ab. (Dazu hätte man p_{d_{16}^{+}}(X, Y) natürlich nicht ausmultiplizieren müssen.)