Elementare Zahlentheorie WS 03/04

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Stundenprotokoll vom 30.01.2004 (MP)

 

 

§ 9. F          Das Planetarium von Christiaan Huygens

 

J. Kepler 1571 – 1630

René Descartes 1496 – 1650

Christiaan Huygens 1629 – 1695

Louis XIV 1638 – 1715

 

In einem Jahr dreht sich die Erde um die Sonne um 359°45’40’’31’’’ := a ( ?).

In einem Jahr dreht sich der Saturn um die Sonne um 12°13’35’’18’’’ := b.

                                                                                  Oeuvres S. 626

 

 

 

Dezimaldarstellung von                                      Kettenbruchdarstellung von

                                                                     

        ,                                 ,  ;

   

  ,              , ;

 ,           

 

Dezimaldarstellung                                        

 

 

                                                              

 

 

 

                               

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 10.    Approximationsordnung

 

   für konvergente   an a.

 

 

Definition.         heißt approximierbar von der Ordnung , wenn  existiert mit

    für unendlich viele , b > 0.

 

   „Ultra-Abstand der Ordnung n“.

 

 

Satz 1.  Rationale Zahlen sind approximierbar von der Ordnung 1, aber nicht von der Ordnung 1+e  

für   e > 0.

 

            Beweis.   .

            (i) Betrachte    für .

                   ,    b|sv

           

                                 . –

 

            (ii) Gegeben [beliebiges] d > 0.

                  [Zu zeigen: Es existieren nur endlich viele, gekürzt, mit 

      .]

      Für

      [Wir hoffen auf  mit höchstens endlich vielen Ausnahmen.]

        nur für : höchstens endlich viele .

       Zu jedem b nur endlich viele  mit ; sonst .||

 

 

Anwendung von der Idee aus Satz 1: .

Beweis: 

              

               Zitat: Ist  in R monoton wachsend und unbeschränkt, so konvergiert

                                          mit   .

                                                                                    

            Setze

                                   .

            .

Wäre  rational, so    für beliebige

                                 Widerspruch zu           . |

 

 

Satz 2.   sei irrational. Dann ist α approximierbar von der Ordnung 2.

             Klar nach Kettenbruch-Entwicklung: Konvergenten: s. o. (mit δ=1).

 

Satz 2’. (Hurwitz 1891). Ist , so gibt es unendlich viele Paare  mit     ; falsch für kleinere δ.

            [Hardy-Wright, S. 186, Satz 193-4]

 

 

Definition.        heißt algebraisch [über Q] vom Grad n, wenn  vom Grad n existiert mit f(α) = 0, aber keines von kleinerem Grad.

 

 

Satz.     sei algebraisch vom Grad N ≥ 2.

a)      In den Büchern steht nicht, dass dann α von der Ordnung N approximierbar sei.

b)      (Liouville 1844). Es existiert c > 0  (zu α)  mit

  für alle .

c)      α ist nicht von einer Ordnung ≥ N+1 approximierbar.

d)      (K. F. Roth 1955).  α algebraisch , . Dann

  für „fast alle“ .