Elementare Zahlentheorie WS 03/04

Protokoll vom Fr., 07.11.03.

Besprechung der Hausaufgaben:

F1: Wie kann man mit den Restklassen eine Probe machen?

Beispiel:

Rechnung: 13765128+ 2831761= 16597889

(13765128)₉=  6  und (2831761)₉= 1.

Da es sich bei den Restklassen um einen Ring-m-1 handelt müsste also

(13765128+ 2831761)₉ = (6+1)₉= 7 sein.

Probe: (16597889)₉ = 8 ≠ 7. Also ist unser Ergebnis falsch.

Besprechung der Hausaufgabe 4:

a) Jede zyklische Gruppe ist isomorph zu einer Faktorgruppe der Gruppe Z aller ganzen Zahlen.

Sei c_n = {c^k/ kє Z} multiplikativ. Außerdem: c_n = <c>. und |c_n| = n

F2. Wie bekommt man einen Isomorphismus?

A1. Nach Homomorphiesatz.

F3. Welcher Homomorphismus? Sei φ: (k→ c^k) :Z → c_n.

F4. Ist φ ein Homomorphismus?

Es seien i,j єZ.  (i+j)φ= c^i+j = cⁱ * c^j = iφ * jφ.

A3. Also ist φ ein Homomorphismus.

F5. Warum gilt Homomorphie obwohl aus dem “+” ein “*“ wurde?

A3. Eine Abbildung φ ist homomorph, wenn folgendes gilt: (x *₁ y)φ = xφ *₂ yφ,

       mit x, y є (G,*₁) und xφ, yφ є (H,*₂) (I).

F6. Warum reicht (I) schon aus um die Homomorphie zu zeigen, ohne zu beweisen, dass das neutrale Elemente auf das neutrale Element(III) und das inverse Element auf das Inverse(II)  abgebildet wird?

Es gilt: 0φ= (0+0)φ. Daraus folgt: 1= 0φ* (0φ)^-1=  0φ* (0φ* (0φ)^-1)= 0φ

Also folgt (III) aus (I).

Außerdem gilt:  i+ (-i)= 0. Also ist (i+ (-i))φ= 0φ=1. Daraus folgt: iφ* (-i)φ=1

Und somit: (iφ)^-1* iφ* (-i)φ= (iφ)^-1. Also (-i)φ= (iφ)^-1. Also folgt auch (II) aus (I).

A4.  Also ist φ ein Homomorphismus und (II), (III) folgen aus (I).

F7. Was ist der Kern von φ?

Wir wissen: c^k ≠1 für alle kє {1,…,n-1}, und <c> = {c⁰, c¹,…,c^n-1}, mit cⁿ=1.

Und Kern φ= {zє Z/ zφ= 1}. Beh.: Kern φ= {n*z/ zє Z}= n* Z.

Beweis: 1. n* Z ist Teilmenge vom Kern φ: φ= c^n*k= (cⁿ)^k= 1^k= 1

              2. Der Kern von φ ist Teilmenge von n* Z: Der Beweis funktioniert mittels der

                  Division mit Rest. Hier kann wie in der vorangegangenen Vorlesung ein

                  Widerspruch zur Minimalität von n bewiesen werden.

A5. Also ist der Kern φ= n* Z.

F8. Was ist das Bild von φ?

A6. Wegen k→ c^k für kє{0, 1,…, n-1} gilt: Bild φ= c_n.

Nach Homomorphiesatz folgt: Z /n* Z entspricht c_n  unter dem Isomorphismus:

φ˜: = (z˜ → zφ): Z/ n* Z → c_n.

b) Die Untergruppen von Z haben die Form nZ= {nk/ k in Z}

     G: = Z zyklisch, mit G= <1> additiv, und U≤ G.

     1*mє U, mє N, m= min {k/ 1*kє U, kє N}

     1. Fall: U= {0}= 0* Z.

     2. Fall: U≠ {0}:

     a) U≤ <m>. Beweis: U (єU)= mq (єU) + r (єU)  für alle r größer 0 und kleiner gleich m.        

         Daraus folgt: r = 0, und daraus folgt U≤ <m>= {mk/ kєZ}= mZ.

     b) aus mє U folgt automatisch mkє U.  

c) Die Untergruppen von Z/ nZ haben die Form U/ nZ für eine Untergruppe nZ/ ≤ U ≤ Z, mit 

    U= mZ für einen Teiler  mє N₀ von n.

    Es sei X≤ Z/ nZ. (z.z.: X= U/ nZ für eine Untergruppe U kleiner Z mit nZ≤ U)

    F9. Welches U kann man nehmen?

    A7. U: = {zє Z/ zφє X}= Xφ^-1_.

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