Elementare Zahlentheorie WS 2003 / 2004


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Stundenprotokoll 08.01.2004 (MH)
[Das Protokoll ist noch nicht redigiert.]





x² + y² = z² ---> (x/z)² + (y/z)² = 1

Mit (x/z) = x' und (y/z) = y',

wobei (x', y') Koordinaten eines Kreispunktes sind.





i) Von PZT zu rationalen Einheitspunkten:

Zu (x, y, z) aus PZT bilde (x', y') = (x/z, y/z) aus Rationaler Einheitskreispunkt (REP)

REP := { (x', y') aus Q² mit x'² + y'² = 1; x', y' > 0}


k: PZT ---> REP

(keine Bijektion, da OZT, die sich nur um Faktor l unterscheiden, dasselbe Bild erreichen).


k': PPZT ---> REP

Bild k = Bild k'




ii) Von REP nach PPZT:

(x', y') = (x/z, y/z) (gekürzte Brüche, tfrd.) mit (x/z)² + (y/z)² = 1.

Dies ergibt: (x, y, z) aus PPZT;

k' surjektiv: also ist k' surjektiv.


[Es geht noch weiter.]






[Hier sollte Grafik 2 erscheinen.]








Aufgelöst:

y' = (s/t) x' – 1

x'² + [(s/t) x' – 1]² = 1

[1 + (s²/t²)] x'² – 2 (s/t) x' = 0


Daraus ergibt sich durch Ausklammern:

x' = 0 (Widerspruch zu (x', y') aus REP), oder

[1 + (s²/t²)] x' = 2 (s/t).


Durch Ausrechnen und Einsetzen ergibt sich schließlich:

x' = 2st/(s² + t²) = x/z

y' = (s² – t²)/(s² + t²) = y/z

für (x, y, z) aus PPZT.


Das bedeutet:

2st = lx

s² + t² = lz

s² – t² = ly.

Daraus ergibt sich ein Zwischenergebnis:

(2st, s² – t², s² + t²) = l(x, y, z), für ein l aus N.

(2st/l, (s² – t²)/l, (s² + t²)/l) =(x, y, z).

Dann ist l = ggT (2st, s² – t²), wobei ggT (s,t) = 1.




also immer pythagoräisch. Aber wann ist es aus PPZT?


A) s ≡ 0 ≡ t mod 2

B) s ≡ 1 ≡ t mod 2

C) s ≡ 0, t ≡ 1 mod 2, oder umgekehrt.


Zu A) 2 teilt s, t : nicht zugelassen

Zu B) 2 teilt g = ggT (2st, s² – t², s² + t²)

[s = 2u + 1 u > v 0

t = 2v + 1 s > t 0

Einsetzen in T = (2st, s² – t², s² + t²) = (2(2u+1)(2v+1), 4(u-v)(u+v+1), 4(u²+v²+u+v)+2),

wobei (u-v) =: s' und (u + v + 1) =: t'.


Dividiere durch 2:

½ T = (s'² – t'², 2s't', s'² + t'²)

s' + t' = (u+v+1) + (u – v) = 2u + 1 = s (ungerade)

---> Fall C) für (s', t')].


Zu C) Es sei s > t 1, ggT (s, t) = 1, s t mod 2

Dann ist (2st, s² – t², s² + t²) primitiv.

Es sei:

X:= 2st Y:= s² – t² Z:= s² + t².


Beweis:

g : = ggT (2st, s² – t²), 2 teilt g nicht;

g teilt Y + Z = 2s²

g teilt -Y + Z = 2t²


Daraus ergibt sich:

g teilt s², t², da diese teilerfremd sind, folgt: g = 1.

Das bedeutet, dass C) automatisch primitiv ist.




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