Elementare Zahlentheorie WS 03/04

Protokoll vom Fr., 19.12.03 (IS).

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3. Methode zur Berechnung der Pythagoräischen Zahlentripel (1628):

Satz: Es sei x eine beliebig angenommene Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks mit Seiten(längen) x, y, z, so dass x² + y² = z² und x, y, z є N. Dann gibt es einen Teiler d є N von x², für den gilt:

y =  ½ * (x²/d - d) und z = y + d.

Bew. : y + d = z, daraus folgt d = z - y. Also gilt: y = ½ * (x²/(z - y) – (z - y)). Und daraus folgt y = y. /

F1. Wie kommt man auf diese Idee?

A1. Man stellt sich d als Differenz zwischen der Hypotenuse und einer Kathete vor. Also sei z = y + d. Bestimme nun y aus x² + y²= z².

Also gilt: x² + y²= (y + d)², und daraus folgt: y =  ½ * (x²/d - d). /

F2. Findet man so alle Pythagoräischen Zahlentripel?

A2. Aus y=  ½ * (x²/d - d) folgt: (2y + d) * d = x², also ist d Teiler von x². Außerdem sind x, y, z und d є N, also findet man mit "dieser Methode" alle Pythagoräischen Zahlentripel.
[Gemeint ist wohl:

• Wähle x in N.
• Für jeden Teiler d von x² prüfe, ob (x²/d - d) gerade ist, und setze gegebenenfalls y = ½ * (x²/d - d).
  Dann ist (x, y, y + d) ein pyth. Zahlentripel.

Wir haben in den Vorlesungen also drei verschiedene Methoden kennen gelernt, um alle Tripel ausfindig zu machen: Diese waren eine Parametrisierung, eine geometrische Vorstellung und eine experimentelle Methode ohne explizite Formel.

Als Fazit lässt sich sagen, dass es (noch) viele (weitere) Möglichkeiten gibt, um sich den Pythagoräischen Zahlentripeln zu nähern.

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