Elementare Zahlentheorie WS 2003/04


Stundenprotokoll der Sitzung vom 13.11.04 (SM)
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Thema (Vortrag ST zu § 8): Eine gruppentheoretische Beschreibung der PPZT.

Definition 1: Es sei M ∈ {N, N0, Z}
a) Eine Matrix [a, b, c] ∈ M1x3 heißt M-phytagoreisches Zahlentripel, wenn a2 + b2 = c2 ist.
b) Ein Pythagoreisches Zahlentripel (PZT) heißt primitiv (pPZT), wenn (a, b, c) ∈ E(M).
Aufgabe: Bestimme alle pPZT !
Idee: Konstruktion aus einem Element.
[Menge aller pPZT := PM]
Es sei [a, b, c] ∈ PZ, dann gilt:
a) [b, a, c] ∈ PZ,
b) Dann ist T ∈ PZ wobei T ∈ {[eaa, ebb, ecc]|ea, eb, ec ∈ {+-1}}.
Beweis:
a) Kommutativität in Z b) (eaa)2 + (ebb)2 = (ecc)2
 Ansatz:
a) (t - a)2 + (t - b)2 = (t + c)2
b) (t + a)2 + (t + b)2 = (2t - c)2</sup>
jeweils für beliebige T ∈ Z.
Es folgt für
a) t = 0 oder t = 2(a + b + c),
b)t = 0 oder t = a + b + 2c.
Satz 1:>
Es sei [a, b, c] ∈ PZ. Dann ist auch [a+2b+2c, 2a+b+2c, 2a+2b+3c] ∈ PZ.
Beweis:
i) T pythagoreisch. ok
ii) T primitiv
Es ist [a, b, c] primitiv mit g:= ggT [ a+ 2b + 2c , 2a + b + 2c , 2a + 2b + 3c], somit gilt g| a+ 2b + 2c , g| 2a + b + 2c , g| 2a + 2b + 3c .
Dann gilt: g|-a+b, g|b+c, g|a+c und
g| a+ 2b + 2c + 2( 2a + b + 2c) - 2(2a + 2b + 3c) = a
g| 2(a+ 2b + 2c) + ( 2a + b + 2c) - 2(2a + 2b + 3c) = b.
Dann ist g isin; {+-1} also T ∈ PZ.
Definition 2: Die von {} erzeugte Untergruppe von GL (3Z), wobei die Matrizen wie folgt bestimmt sind
P:=
0 1 0
1 0 0
0 0 1
M1 = [
-1 0 0
0 1 0
0 0 1

M2 =
1 0 0
0 -1 0
0 0 1

M3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 -1

A =
1 2 2
2 1 2
2 2 3

heißt bei Sebastian Thomas Z-pythagoreische Gruppe G < GL(3, Z).
Definition 3: Wir definieren Folgende Operatinen von Gz auf Pz:
*A =: (T-> TA), PZ -> PZ für ein A ∈ GZ
Frage: Ist PZ eine Gz-Menge?
i) (T*A)*B wobei A, B ∈ PZ, ii) T*E = T .
Lemma: PZ ist eine Gz. Beweis ok.
Fragen: 1. Eigenschaften von Gz (Ordung...)?
2. Isomorphietypen ?
3. Andere Gruppen ?
Definition 4: zu 1)Es sind B:= M1A , C := M2A und D:= M1M2A mit den Ordnungen:
o(P) = 2
o(Mi)A = 2, I ∈ {1,2,3}
o(A), o(B), o(C), o(D) = ?. Die Ordung von A, B, C sind wohl unendlich und o(D) = 2, zu zeigen mit vollständiger Induktion. Außerdem sei GZ = < P, M1, M2, M3, D> mit o(GZ = unendlich )


zu 2) Mit T = [3, 4, 5] ergibt sich
T*A mit A ∈ {A, B, C, M3A, D, M3B, M3C, M3D}. Es ergibt sich:
T*A = [21,20,29]
T*B = [15,8,17]
T*C = [5,12,17]
T*D = [1,0,1]
T*M1M2M3A = [-21,-20,-29]
T*M1M3A = [-5,-12,-13]
T*M2M3A = [-15,-8.-17]
T*M3A = [1,0,-1]

M:= (m1,m2,m3) : 1>*2>*3> : 8 < Gz.
Vermutung: "A, B, C, D reichen aus".
Lemma:Es seien [a,b,c] isin; PN0 und [a',b',c'] isin; PZ0.Dann gilt:
a) Aus [a',b',c'] = [a,b,c] * A folgt a'> a, b'> b, c'> c.
b) Aus [a',b',c'] = [a,b,c] * B folgt a'> a, b'> b, c'> c.
c) Aus [a',b',c'] = [a,b,c] * C folgt a'< a, b'< b, c'< c.
d) Aus [a',b',c'] = [a,b,c] * D folgt |a'|< a, |b'|< b, |c'|< c.
e) Aus [a',b',c'] = [a,b,c] * D und [a,b,c] nicht Element von {[1,0,1],[0,1,1]} folgt a'< 0 oder b'< 0.

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