Stundenprotokoll zur Vorlesung Elementare Zahlentheorie vom 16.01.2004 (DB)

Fortsetzung von §7. Analyse von EA/XEA
Wir waren über die Analyse des EA/XEA und der Definition von Kettenbrüchen rationaler oder auch irrationaler Zahlen zu einigen Fragen gekommen. Es ist der Bruch a/b oder a : b (die wir heute als a = α , b = 1 annehmen) und eine nicht abbrechenden Kettenbruch [Q₀; Q₁, Q₂, Q₃,...]. Weiter gelte a : b = A_n := - y_{n + 1}/x_{n + 1}, wenn r_{n + 1} = 0 = x_{n + 1}· a + y_{n + 1}· b und r_{i + 1} - Q_i · r_i = r_i+1 < r_i.
Frage:	Konvergieren die r_i gegen 0?
Frage:	Konvergieren die A_i?
Frage:	Konvergieren die A_i gegen α = a/b, wenn [Q₀; Q₁, Q₂, Q₃,...] die Kettenbruchentwicklung von α : 1 ist?
Folgenden Satz hatten wir in diesem Zusammenhang schon bewiesen:
Satz 7:	A_k+2 - A_k+1 = (-1)^k+1/(x_k+2 · x_k+1)
Nun untersuchen wir zwei A_k die sich um zwei Stellen unterscheiden und schließen dadurch auf den nächsten Satz:
Satz 8:	A_k+2 - A_k = Q_i+2 · (-1)^k+1/(x_k+2 · x_k+1) (mit positivem Nenner)
Beweis:	A_i+2 - A_i = - y_i+3/x_i+3 - -y_i+1/x_i+1 = (- y_i+3x_i+1 + y_i+1x_i+3)/(x_i+3x_i+1) Da der Nenner bereits ist wie gewünscht betrachten wir nur noch den Zähler. - y_i+3x_i+1 + y_i+1x_i+3 = y_i+1(x_i+1 - Q_i+2x_i+2) - x_i+1(y_i+1 - Q_i+2y_i+2) = Q_i+2(y_i+2x_i+1 - y_i+1x_i+2) Nun folgt mit Satz 3: Q_i+2 · (-1)ⁱ⁺² Somit ist die Behauptung bewiesen.
Folgerung:	Für Q_i∈/N gilt: A₀ < A₂ <A₄ < A₆< ...<...< A₇ < A₅ < A₃ < A₁ = Q₀ + 1/(Q₁)
Beweis:	Man sieht leicht, dass diese Ungleichung für A₀ < A₂ < A₃ < A₁ erfüllt ist. Aus Satz 7 und Satz 8 folgt der Rest.
Aus Satz 7 folgt die Konvergenz der A_i [(1/x_i → 0) konvergiert] Den Grenzwert nennen wir β∈/R. A_i heißt Konvergente.
Es bleibt also noch zu zeigen, dass β = α ist, d.h. A_i < α < A_j für ungrade j und grade i.
Beweis:	A₀ = Q₀ < Q₀+1/(Q₀ + r₀/r₁) = α = Q₀+1/(Q₁ + 1/(r₁/r₂)) < A₁. Analog folgt sofort, dass α < A₃, α < A₅, α < A₇,... und α > A₂, α > A₄, α > A₈,....
Aus diesem Ergebnis machen wir den folgenden Satz:
Satz 9:	Ist [Q₀; Q₁,Q₂,...] die Kettenbruchentwicklung von 0 < α ∈ /R, so konvergiert die Folge der A_i gegen β = α.
Folgerung:	Der Fehler der Kettenbruchentwicklung kann wie folgt abgeschätzt werden. \|α - A_k\| < \|1/(x_k+2 · x_k+i)\| ≤ 1/(x_k+1²) ≤ 1/(f_k+2 · f_k+1)

Frage:	Konvergieren die r_i gegen 0?

Beweis:	Nach dem XEA gilt: r_k = x_ka + y_kb für einen Bruch a/b. Mit a/b = α/1 ist r_k = x_kα + y_k · 1 ∀ k ∈ /N. 0 < A_i < α und x_i < 0 für alle graden i ≥ 2, α < A_j und x_j > 0 für alle ungraden j ≥ 2. Für grade i: 0 < r_i = x_kα + y_k < x_i·A_i + y_i (da x_k < 0) = x_i(-y_i+1/x_i+1) + y_i = 1/x_i+1(y_ix_i+1 - y_i+1x_i) = (-1)ⁱ⁺²/x_i+1 = 1/x_i+1. 1/x_i+1 → 0 für i → ∞ i gerade. Für j ungrade Analog.
§9. Beste Approximation reeller Zahlen durch rationale Zahlen
Vorschau:	A. Konvergenten als Ultra-Approximationen.
	B. Goldener Schnitt.
	C. Fibonacci-Folgen.
	D. Vergleich mit Heron-Verfahren.
	E. Periodizität von Sonnenfinsternissen.
	F. Das Planetarium von Christiaan Huygens.

Anwendungs Problem:	Zahnrad: Übertragungsverhältnis α ∈ /R (oder ∈ /Q für große Zähler oder Nenner) approximieren durch p/q ∈ /Q mit kleinem Nenner und Zähler. Christian Huygens: Planetarium. Nächste Sonnenfinsternis
Definition:	Ein Bruch 0 < p/q ∈ /Q, gekürzt, heißt eine "distanz"-beste Approximation, an 0 < α ∈ /R, wenn \|α - p/q\| < \|α - u/v\| ∀ 0 < v <q, u/v ≠ p/q (u, v, p, q ∈ /N).
Definition:	Ein Bruch 0 < p/q ∈ /Q, gekürzt, heißt eine "ultra"-beste Approximation (kurz Ultra-Aproximation), an 0 < α ∈ /R, wenn \|α · v - u\| > \|α · q - p\| ∀ 0 < v <q, u/v ≠ p/q (u, v, p, q ∈ /N). Schreibweise: u(u/v, α) := \|α · v - u\| "Ultra-Abstand".

Lemma:	Jede Ultra-Approximation an α ist auch distanz-beste-Approximation an α.
Beweis:	p/q sei Ultra-Approximation. \|α · v - u\| > \|α · q - p\| ∀ u/v. \|α · q - p\| < \|(α · v)q - u/q\| = 1/q \|α · v - u\| ≤ 1/v(α · v - u) = \|α - u/v\|.
Satz:	Die reelle Zahl Q < α ∈ /R habe die Kettenbruchentwicklung [Q₀;Q₁,...]. Dann sind die Näherungsbrüche A_k = (-y_k+1/x_k+1) für k ≤ 0 Ultra-Approximation an α.
Beweis:	p_k = (-1)^k+1 · y_k+1 ≥ 0; q_k = (-1)^k · x_k+1 > 0; A_k = p_k/q_k > 0.
Satz:	α sein [Q₀;Q₁,...], unendlich oder abbrechend mit Q_n ≥ 2, d.h. α = [Q₀;Q₁,...,Q_n]. Dann gilt: \|α · q_k - p_k\| > \|α · q_k+1 - p_k+1\| für k ≥ 0.
Beweis:	α = [Q₀;Q₁,...,Q_k,Q_k+1,...] mit [Q_k+1,...] := Q'_k+1∈/R daraus folgt α = [Q₀;Q₁,...,Q_k,Q'_k+1] mit Q'_k+1 ∈ /R.