Punkt 1 der Veranstaltung war der letzte Teil des Referates zum Thema: "Prüfcodes" (§ 3), hier: ISB-Nummern.

Zunächst wurde über die vergangene Veranstaltung resümiert und festgestellt, dass beim EAN-Code zahlreiche Fehler auftreten, die nicht erkannt werden.

Es stellte sich also die Frage nach Verbesserungsmöglichkeiten hinsichtlich der Fehlererkennung. Folgende beiden Ideen wurden genannt: Statt der alternierenden Multiplikation nur mit den Ziffern 1 und 3 sollen mehrere verschiedene Zahlen verwendet werden, und die Rechnung modulo 10 aus dem EAN-System soll ersetzt werden durch eine Rechnung modulo p, wobei p eine Primzahl ist. Davon erwarteten wir eine mögliche Verbesserung der Fehleraufdeckungsrate.

Nun wurde eine ISB-Nummer als Beispiel vorgestellt:

3-426-04175-8.

Die erste Ziffer gibt das Land bzw. die Sprache an. Die zweite Zahl steht für den Verlag und die dritte für den Titel des Buches. Die letzte Zahl ist (wie bei EAN) eine Prüfziffer. Dies ergibt neun Ziffern plus die Prüfziffer. Die ersten neun Ziffern werden absteigend mit zehn, neun, acht, etc. multpliziert, also die neunte mit zwei. Diese neun Produkte werden addiert, und die anschließende Addition mit der Prüfziffer muss eine Zahl ergeben, welche modulo 11 gerechnet werden kann und Null ergibt. In obigem Beispiel ergibt dies die Zahl 187, welche durch elf teilbar ist.

Nun wurden fünf mögliche Fehlertypen und die Aufdeckungsrate durch die ISBN genannt:

a.) Ziffern werden vergessen bzw. es gibt zu viele Ziffern: 100%.

b.) Eine Ziffer ist falsch: 100%.

c.) Ziffern werden mit dem Nachbar vertauscht: 100%.

d.) Ziffernblöcke werden vertauscht.

e.) Mehr als eine Ziffer wird vertauscht.

Fehler bei den Punkten d. und e. werden in den meisten Fällen aufgedeckt.

Beweis von Punkt c:

Eine ISBN hat die Darstellung d₉d₈d₇d₆d₅d₄ d₃d₂d₁p.

p ist also die negative Summe der Produkte [d_i (i+1)] modulo 11, wobei i von 1 bis 9 geht.

Es gilt (i + 1)d_i + i d_{i - 1} = z, wobei z genau eine bestimmte natürliche Zahl ist (denn die letztendliche Summe muss ja durch elf teilbar sein) und i hier größer als zwei ist. Bei Vertauschung der beiden Ziffern müsste also gelten:

(i + 1) d_{i - 1} + i d_i = z. Der Fall d_i = d_{i - 1} ist kein Fehler.

Also gilt: (i + 1) d_i + i d_i-1 - (i + 1) d_{i - 1} - i d_i = 0.

(d_{i + 1} - d_i) (i + 2 - i - 1) = 0.

Also ist d_{i + 1} = d_i.

Das bedeutet also, dass alle Fehler (bezüglich Punkt c.) entdeckt werden.

Insgesamt ist dieses System also effizienter bei der Fehleraufdeckung wie EAN. Dieses wird aber weiterhin genutzt, da es zu aufwendig wäre, überall neue Nummerntastaturen zu integrieren, da man bei den ISBN ein x benötigt für die Prüfziffer.

Das Thema "Prüfcodes" kann durchaus im Schulunterricht genutzt werden. Mathematisch steht hauptsächlich die "Division mit Rest" dahinter. Der Schüler lernt ein ganz neues Rechensystem kennen. Im Geist können die Schüler völlig neue Objekte entwickeln. Dadurch macht man im jungen Alter einen Niveausprung (von der zweiten auf die dritte "Diskursebene").

Der Lehrer wird es allerdings wegen der enormen Menge von Stoff schwierig haben, weil die Recherchen sehr zeitaufwendig sind.

Punkt 2 der Veranstaltung war § 4, die sogenannten "Quadrate" in Z/nZ. (Es sei Z die Menge der ganzen Zahlen.) Dabei wurde die Tabelle aus der vergangenen Veranstaltung wieder in den Blickpunkt genommen:

Die Einträge sind die Ergebnisse der Rechnung b² modulo n.

Man erkennt, dass nur gewisse Reste Quadrate sind. Außerdem sieht man eine Spiegelung in den Zeilen (Im Falle von modulo 5 ist z.B. das Negative von 4 gleich 1.)

Es stellt sich die Frage: "Tritt a als Rest eines Quadrates modulo n auf, wenn ich a modulo n rechne für eine Zahl a aus Z?" Die Tabelle kann dies nicht klar darstellen.

Plan: Ich formuliere die Frage um: "Ist eine gewisse Funktion surjektiv, so dass a als "Bild" getroffen wird?"

Es sei q := (x -> x²): Z/nZ -> Z/nZ. Es bleibt die Frage: Liegt a im Bild von q?

Wir studieren q:

Frage 1: Ist q Homomorphismus (also strukturerhaltend) als Abbildung von Ringen-mit-1?

Prüfung: (x + y)² = x² + 2 xy +  y². Dies ist nicht gleich x² + y². Also ist es kein Homomorphismus zwischen Ringen-mit-1. 

Frage 2: Ist q ein Monoidhomomorphismus?

Frage 3: Ist q´: E (Z/pZ) -> E (Z/pZ) ein Gruppenhomomorphismus?

Frage 2 wird mit ja beantwortet, denn: xy wird durch q auf xy² abgebildet, und dies ist gleich x²y². (1 -> 1² = 1.)

Frage 3 wird ebenfalls mit ja beantwortet: x^-1 -> (x^-1)² = (x²)^-1.

Nun ergeben sich weitere Fragen, z.B. über Kern und Bild der Abbildungen q und q´. Diese werden in der nächsten Veranstaltung thematisiert.

Wir machen folgende Definition: Kern q´ := {x aus E (Z/pZ) / x² = 1}, und Bild q´ := {y aus E (z/pZ) / Es existiert x mit x² = y}.

Kern und Bild von q´ sind Untergruppen von E. E / Kern q´ ist isomorph zu E².