Elementare Zahlentheorie
Stundenprotokoll vom 25.11.2003 (AW)
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Protokollübersicht]
[Zum Teil 1) der Stunde Hausaufgabe 5]
[Zum Teil 2) der Stunde Hausaufgabe 4]
[Zum Teil 3) der Stunde § 4]
1) Besprechung von Hausaufgabe 5:
„Neue Kernlehrpläne“
In den Kernlehrplänen wird das eigenständige Lernen mehr betont als der bloße fachliche Inhalt.
Dieser befindet sich jedoch in den sogenannten Richtlinien und Lehrplänen der einzelnen Fächer.
(Download: http://www.ritterbach.de ).
Als Kritik an den Kernlehrplänen wird jedoch genannt, dass diese sowohl für Lehrer als auch für Schüler
zu schwer umsetzbar sind.
In der Schule reicht nach unseren Erfahrungen bislang die bloße Anwendung aus, Schüler lernen viel auswendig
und müssen die Herleitung meist nicht kennen. Schüler sollen jedoch Zusammenhänge erkennen lernen.
Man müsste den Unterricht (und die Klausuren) bereits ab der 5. Klasse grundlegend ändern.
Dieser Umbruch ist jedoch das Schwierigste an der Umsetzung der neuen Kernlehrpläne, schließlich müssen sowohl
berufserfahrene Lehrer von diesen neuen Methoden überzeugt werden, aber auch Eltern der Schüler
und Schülerinnen müssen die Notwendigkeit der neuen Methoden verstehen.
Außerdem diskutierten wir den Punkt, dass bereits in der Ausbildung der Lehrer an der Hochschule
Änderungen stattfinden müssen. Die Fachdidaktik sollte neben den fachspezifischen Veranstaltungen
mehr in den Vordergrund treten als bisher. Dies wird auch mit der neuen Lehrerprüfungsordnung versucht.
2) Besprechung von Hausaufgabe 4:
Zu Aufgabe 4 c):
Vor:
Z/nZ als addidtive Gruppe
Beh:
1. Es gibt eine Untergruppe U von Z mit der Eigenschaft, dass W= U/nZ und nZ ist Untergruppe von U.
2. Es gibt ein m aus N0 mit U= mZ.
Beweis:
1) W = {t1, t2, ...} mit ti aus Z/nZ.
W als Untergruppe besteht also aus gewissen "Töpfen", das gesuchte U
aus Elemeten von Z .
Setze U als die Vereinigung aller Töpfe, die in W sind.
Zeige dann, dass gilt:
- nZ ist eine Untergruppe von U.
Beweis: Da t0 := 0 + nZ in W liegt, kann
man U/nZ = {u + nZ; u ist Element von U} bilden.
- U ist Untergruppe.
- W = U/nZ (hier sind die beiden Inklusionen zu zeigen):
a) W ist Untergruppe (oder gleich) U/nZ.
b) U/nZ ist Untergruppe (oder gleich) W.
Beweis zu a: Es sei t ein Element aus W, somit liegt t in U. t hat die Form: t= x+nZ für ein x aus Z.
Also ist auch x aus U und somit ist x+nZ Element von U/nZ.
Beweis zu b: Geht entprechend.
2) Dies ist die Aussage von Aufgabenteil b).
3) Neuer Paragraf
§4 Quadrate in Z/nZ
Ein Element a* von Z/nZ heißt Quadrat, wenn ein b* von Z/nZ existiert mit b*² = a*.
Frage: „Wann“ ist a* aus Z/nZ ein Quadrat?
Planen:
Vorschläge:
1. Wurzeln berechnen in Z, Q, R, C (Und dann?)
2. Umgekehrt: Man nimmt alle b und rechnet dann die Quadrate
modulo n aus.
Tabelle:
| n b | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 1 | 0 | 1 | | | | | | | | | | |
| 2 | 0 | 1 | | | | | | | | | | |
| 3 | 0 | 1 | 1 | | | | | | | | | |
| 4 | 0 | 1 | 0 | 1 | | | | | | | | |
| 5 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | | | | | | | |
| 6 | 0 | 1 | 4 | 3 | 4 | 1 | | | | | | |
| 7 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | | | | | |
| 8 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | 6 | 1 | | | | |
| 9 | 0 | 1 | 4 | 0 | 7 | 7 | 0 | 4 | 1 | | | |
| 10 | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | | |
| 11 | 0 | 1 | 4 | 9 | 5 | 3 | 3 | 5 | 9 | 4 | 1 | |
| 12 | 0 | 1 | 4 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 4 | 1 |
| 13 | 0 | 1 | 4 | 9 | 3 | 12 | 10 | 10 | 12 | 3 | 9 | 4 | 1 |
| 17 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 8 | 2 | 15 | 13 | | | |
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