Besprechung der Hausaufgabe vom 24.10.03: Figurierte Zahlen

Aufgabenstellung: Wählen Sie aus dem Literaturverzeichnis zur Elementaren Zahlentheorie unter Figurierte Zahlen eine Quelle aus, aus der Sie einen interessanten Punkt auswählen und auf einer halben Seite darstellen.

1.Frage: Was ist an den Figurierten Zahlen didaktisch wertvoll?

Als eine Auflockerung zum Unterrichtbeginn kann man die Fig. Zahlen verwenden, denn man kann diese auf allen vier Diskursebenen besprechen.
Gibt es noch andere Ziele, die man durch die Behandlung der Figurierten Zahlen verfolgen kann?

2. Frage: Geht es in der Schule um Inhalte oder Methoden? Soll der Lehrer den Schülern Begründungen geben oder nicht?

Durch eine geometrische Darstellung könnte der Lehrer die bildliche Vorstellung der Schüler fördern. Dies ist unter anderem auch eine Art der Begründung und zwar auf der bildlichen Ebene. Durch Kontinuität verfestigt sich das neu erworbene Wissen des Schülers. Der Lehrer sollte den Schülern mehrere Begründungen liefern, damit die verschiedenen Systeme geistiger Vorstellungen der Schüler angesprochen werden.

Aber es gibt einige Sachverhalte, die wir nicht mehr hinterfragen so wie das Zählen zum Beispiel. Auf der ersten Diskursebene lernen die Kinder das Zählen mit Äpfeln und Birnen. Man hat einen Apfel und noch einen Apfel und insgesammt hat man dann zwei Äpfel. Dann lässt man die Äpfel weg und rechnet nur noch mit Zahlen und glaubt die Begründung dafür zu haben, warum eins und eins zwei ergibt. Das bedeutet, dass die Kinder die Sprache akzeptiert haben und das Zählen auch, aber das ist noch keine Garantie dafür, dass sie mit den Zahlen ohne Probleme rechnen können.
So stellt man fest, dass die Fächer Mathematik und Biologie, die auf den ersten Blick ganz verschieden sind, sich doch gar sehr ähneln, da beiden zunächst konkrete Objekte betrachten und dann eine Theorie (natürlich nicht die gleiche) dazu konstruieren.

Man stellt eine Hypothese auf und versucht diese durch eine Theorie zu begründen. Das heisst, die Theorie ist das Ziel jeder Wissenschaft.

3.Frage: Würde jahrelanges Begründen helfen? Soll man nur spezielle Begründungen lernen oder allgemeine?

Wie es ein altes Sprichwort besagt: Übung macht den Meister. Das Begründen muss gelernt werden am besten durch eigenständige Arbeit, wobei der Lehrer nur als ein (allwissender) Berater zur Seite steht. Das richtige Lesen und Schreiben spielt in diesem Zusammenhang eine entscheidende Rolle.
Doch dabei entsteht ein Problem für den Lehrer, nämlich die Prioritäten zu setzen und zwar entweder auf den Inhalt (wenig Begründung, nur das Nötigste) oder auf die Begründung (Gefahr: man schafft den vorgesehenen inhaltlichen Stoff nicht in einem vorgegebenen Zeitrahmen).

3.1 Frage: Ist Begründen wertvoll?

Der Schüler kann mit einem begründeten Sachverhalt besser umgehen als mit einem, der vom-himmel-gefallen ist und wo der Lehrer sagt, dass dieser stimmt. Wie oben schon erwähnt, soll der Lehrer dem Schüler mehrere Möglichkeiten zeigen, damit dieser die Begründung in sein eigenes Verständnis der Mathematik einfügen kann. Der neue Stoff wird mit dem alten in Verbindung gesetzt, d.h. man hat gelernt.

3.2. Frage: Was ist der Sinn einer Begründung?

Die Richtigkeit einer Aussage wird festgestellt. Der Sachverhalt wird außerdem in einen sinnvollen (eben begündeten) Zusammenhang gestellt (so dass man ihn auch merken kann).

3.3 Frage: Geht es in der Elementaren Zahlentheorie um den Inhalt oder ums Begründen?

Man lernt Methoden kennen, die einem helfen den Inhalt zu vermitteln, und gleichzeitig erwirbt man die (didaktische) Fähigkeit, Sachverhalte zu begründen und damit wieder (s. o.), die Inhalte zu behalten.

4. Frage: Sind Figurierte Zahlen dazu geeignet, die Vollständige Induktion zu erklären?

Das Prinzip der Voll. Ind. ist es, zwei Aussagen zu beweisen, die Verankerung und den Induktionsschritt: gilt die Aussage für n, so gilt diese auch für n + 1.
Man kann dieses Beweisprinzip an mehreren Beispielen erklären, und dann hat sowohl der Lehrer als auch der Schüler die Sicherheit, dass die Aussage korrekt ist oder nicht.
Durch die Induktion wird eine Verbindung zur Vorstellung beim Schüler hergestellt.

Ein Beweisprinzip, das äquivalent zur Vollständigen Induktion ist:
Indirekter Beweis:
Es gibt ein n, für das die Aussage nicht stimmt. Man wählt dann den sogenannten "kleinsten Verbrecher", also das kleinste n, für das die Aussage nicht gilt. Das Prinzip des kleinsten Verbrechers stellt so sicher, dass die Aussage für alle kleineren n gilt! Das hilft bei der Produktion des gewünschten Widerspruches im indirekten Beweis.

Fazit:

Figurierte Zahlen eignen sich vor allem gut dazu, um von einer bildlichen Vorstellung auf eine Formel zu kommen. Gleichzeitg lernt man den Übergang zwischen zwei verschiedenen Darstellungsformen. Denn eine Formel ist immer präziser als ein Bild.
Als Lehrer sollte man in der Lage sein, klassengerechte Erklärungen zu geben.
Zum Beispiel:
Unterere Stufen: Bildchen
Obere Stufen: Induktion

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