| Stundenprotokoll zur Vorlesung Elementare Zahlentheorie vom 28.10.2003 |
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| Nachtrag zum §2 A. : Rechenproben Veranschaulichung
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Wir waren von dem Problem der Teilbarkeit mit Rest von einer Zahl a ∈ /Z
bzgl. zweier anderer n, m ∈ IN
zu der Frage gekommen, welche Zahl(en) b die selben Reste
bei der Division durch n und m haben.
Über diese Frage haben wir den Chinesischen Restesatz hergeleitet,
der uns darauf eine Antwort lieferte. Weiter wollten wir eine Aussage
treffen, inwiefern man von diesen Resten auf den Rest bei der Division durch
das Produkt n · m schließen kann.
Hier ist aber auch noch mal eine geometrische Veranschaulichung dieser Fragestellung angebracht, was in einer Schulklasse sicher vom methodischen Vorgehen im Unterricht her als das bessere Ergebnis anzusehen ist als ein abstrakter mathematischer Satz . Es gilt z. B.
Als Ergebnis folgt, auch für Schüler der unteren Jahrgangsstufen, leicht die Menge: { b | a2 = b2,
a3 = b3} = a + 6 /Z = ¯a,
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| Chinesischer Restesatz
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| Wir definieren auf den Grundlagen des Chinesischen Restesatzes eine "neue" Abbildung,
um die entstandene Menge(n) vielleicht über die Eigenschaften der
Abbildung besser zu charakterisieren.
mod m : = (a → am ): /Z → m bzw. mod m : = (a → ¯a) /Z → /Z / m/Z, wobei m:={0, 1,..., n - 1} ≅ /Z / m/Z := {¯a| a in /Z} ist vermöge x ↔ ¯x = x + m/Z. Die Abbildung mod m ist surjektiv und ein wohldefinierter Ring-m-1-Homomorphismus. Bei uns sind aber die Reste bezgl. zweier Moduln m1 und m2 (im Beispiel 2 und 3) gegeben. Aus ihnen machen wir das Paar (am1, am2) ↔ (a + m1 /Z, a + m2 /Z) inm1 × m2 ≅ /Z / m1 /Z × /Z / m2 /Z. Dies wirft sofort die Frage auf: Ist m1 × m2 wieder ein Ring-m-1? Ja, was leicht über die komponentenweisen Operationen zu beweisen ist. |
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Jetzt erhalten wir den Ring-m-1-Homomorphismus φ := (a → (am1, am2)): /Z → R := (m1 × m2) ≅ /Z / m1 /Z × /Z / m2 /Z. Ein kurzes Beispiel zum Rechnen in R: (1, 1)· (1, 2) = (1, 2) (1, 0)· (0, 2) = (0, 0) Hier sind sowohl (1, 0) als auch (0, 2) ungleich Null in m1 × m2; trotzdem ergeben sie als Produkt das Nullelement des Ringes. Solche Ringelemente nennt man Nullteiler. Frage: Sind Nullteiler multiplikativ invertierbar? Nein. Beweis: Es sei R ein Ring-m-1, a · b = 0, a, b ∈R, a ≠ 0, b ≠ 0. Angenommen a wäre invertierbar, dann würde gelten x · a = 1, mit a · b = 0 |· x Frage: Wie und was ist das Bild φ? Frage: Wie und was ist der Kern φ ? Bild φ ist ein Unter-Ring-m-1. Aber wir wollen uns zuerst den Kern φ genauer anschauen. Kern φ := {z ∈ /Z | φ(z) = 0} ist
ein Unterring (ohne 1!).
Kern φ = {z ∈ /Z | m1 | z und
m2 | z} = {z ∈ /Z | kgv(m1, m2) | z}.
Frage: Ist φ surjektiv? Vielleicht nur/auch, wenn m1 und m2 teilerfremd sind? Um uns der Frage klarer zu werden, formulieren wir sie um und werden uns der Definitionen und Begriffe der Frage bewusst. Existiert zu jedem
(α1, α2 ) ∈ R =
m1 × m2 ≅
/Z / m1 /Z × /Z / m2 /Z
ein b ∈ /Z mit
α1 = b + m1 /Z und
α2 = b + m2 /Z,
bm1 = a1 und bm2 = a2 für α1 = a1 + m1 /Z und α2 = a2 + m2 /Z? Antwort: Ja.
/Z / Kern φ ≅ Bild φ, ψ := (¯z = z + Kern φ → φ(z)): /Z / Kern φ → Bild φ. Unser φ aus dem Chinesischen Restesatz liefert uns den Isomorphismus ψ : /Z / m1 · m1 /Z → /Z / m1 /Z × /Z / m2 /Z, denn φ: /Z → /Z / m1 /Z × /Z / m2 /Z ist surjektiv.
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| §2 B. Strukturfragen an /Z / m/Z ≅ m | |
| Frage 1: Welche Elemente sind multiplikativ invertierbar?
Die multiplikativ inversen Elemente sind die sogenannten "Einheiten" von /Z / m/Z. Frage 2: Ist E(/Z / m/Z) := Menge aller multiplikativ invertierbaren Elemente eine "anständige" Menge? "Anständig" heißt hier: Ist E(/Z / m/Z) ein Körper? Nein, Körper besitzen keine Nullteiler. Ist es dann vielleicht eine multiplikative Gruppe? Zu Frage 1:
In /Z / 7/Z ist y =
¯1, ¯2, ¯3, ¯4, ¯5, ¯6 invertierbar,
denn für a, m teilerfremd gilt ggT(a, m) = 1,
und der XEA liefert uns eine Darstellung
1 = a· u + m · v,
Nun sei g = ggT(a, m). Fazit: |
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