Grundlagen der Geometrie
Protokoll vom 6. November 2000

1. Beweis der Strahlensätze (vgl. Vorlesung vom 2.11.2000).
Der Beweis erfolgt durch einen Ringschluss. Die erste Inklusion $(1) \Rightarrow (2)$ ist klar, da nach Voraussetzung $AB \ \Vert \ CD$ ist.
Die Inklusion $(2)\Rightarrow (3)$ wird mit der gleichen Vorgehensweise wie die Inklusion $(3)\Rightarrow (4)$ gezeigt.
Beweisidee: Man suche sich zwei linear unabhängige Vektoren und drücke die in der behauptung gesuchten Vektoren durch diese linear unabhängigen aus. Kann man dies auf zwei verschiedene Arten, so kann ein Koeffizientenvergleich durchgeführt werden, der hoffentlich zu dem gesuchten Ziel führt.
Der Fall $(2)\Rightarrow (3)$ wird exemplarisch ausgeführt: das Paar $(\stackrel{\rightharpoonup}{SA},\stackrel{\rightharpoonup}{SB})$ ist linear unabhängig. Mit den Eigenschaften des affinen Raumes lässt sich der gesuchte Vektor $\vec{SC}$ darstellen in der Form:

$$C = S \ \ast \stackrel{\rightharpoonup}{SC} = (S \ \ast \stackrel{ \r... ...}{BC} = S \ast (\stackrel{\rightharpoonup}{SB}+\stackrel{\rightharpoonup}{BC}),$$

$$\stackrel{\rightharpoonup}{SC} = \stackrel{\rightharpoonup}{SB}+\stackrel{ \rightharpoonup}{BC}$$ (1)

Für den Vektor $\stackrel{\rightharpoonup}{BC}$ gilt aber auch $\stackrel{ \rightharpoonup}{BC} \ =\gamma \ \cdot \stackrel{\rightharpoonup}{SB}$, da die Punkte $S, B, C$ auf einer Geraden liegen. Diesen Zusammenhang in Gleichung (1) eingesetzt führt zu:

$$\stackrel{\rightharpoonup}{SC} \ = (1+\gamma ) \ \cdot \stackrel{ \rightharpoonup}{SB}.$$ (2)

$\stackrel{\rightharpoonup}{SC}$ kann aber auch auf andere Weise ausgedrückt werden:

$$\stackrel{\rightharpoonup}{SC} \ = \ \stackrel{\rightharpoonup}{SD}+\stackrel{ \rightharpoonup}{DC}.$$ (3)

Nach Voraussetzung gilt $\stackrel{\rightharpoonup}{SD} \ = \lambda \cdot \stackrel{\rightharpoonup}{SA}$. Die Seiten $DC$ und $AB$ sind nach Voraussetzung parallel zueinander, so dass für $\stackrel{\rightharpoonup}{DC}$ der Zusammenhang $\stackrel{ \rightharpoonup}{DC} \ =\ \alpha\cdot \stackrel{\rightharpoonup}{AB}$ für einen Skalar $\alpha$ gilt. Der Vektor $\stackrel{\rightharpoonup}{AB}$ kann wiederum mit Hilfe der beiden linear unabhängigen Vektoren wie folgt ausgedrückt werden: $\stackrel{\rightharpoonup}{AB} \ = -\stackrel{\rightharpoonup}{SA}+\stackrel{\rightharpoonup}{SB}$, so dass sich insgesamt $\stackrel{\rightharpoonup}{DC}= \alpha\cdot ( -\stackrel{ \rightharpoonup}{SA}+\stackrel{\rightharpoonup}{SB})$ ergibt. Durch Einsetzen der Ausdrücke für $\stackrel{\rightharpoonup}{SD}$ und $\stackrel{\rightharpoonup}{DC}$ in Gleichung (3) erhalten wir für $\stackrel{\rightharpoonup}{SC}$ den Zusammenhang:

$$\stackrel{\rightharpoonup}{SC} = \lambda \stackrel{\rightharpoonup}{SA}+ \ \alpha ( -\stackrel{\rightharpoonup}{SA}+\stackrel{\rightharpoonup}{SB})$$

$$= (\lambda -\alpha)\stackrel{\rightharpoonup}{SA} + \ \alpha \stackrel{\rightharpoonup}{SB}.$$ (4)

Der Koeffizientenvergleich in den Gleichungen (2) und (4) führt zu

$$\begin{eqnarray*} \lambda -\alpha =0, \quad \mbox{somit} \quad \lambda =\alpha,... ...ha =1+\gamma, \quad \mbox{somit} \quad \alpha=\lambda=1+ \gamma, \end{eqnarray*}$$

und Einsetzen des Koeffizienten $\lambda$ in Gleichung (2) führt zu der Behauptung $\stackrel{\rightharpoonup}{SC}= \lambda \stackrel{\rightharpoonup} {SB}$.

Mit einer analogen Vorgehensweise erhält man aus Voraussetzung (3) auch die Behauptung (4). Der Ringschluss schließlich von (4) nach (1) ist wieder klar, da die Behauptung $AB\ \Vert\ DC$ direkt aus der Voraussetzung (4) folgt.

2. Beweis des Parallelogrammsatzes
Auch hier benutzten wir die gleiche Vorgehensweise wie im Beweis des Strahlensätze. Als Paar von linear unabhängigen Vektoren wählen wir $(\stackrel{\rightharpoonup}{AB},\stackrel{\rightharpoonup}{AD})$. Der Vektor $\stackrel{\rightharpoonup}{DC}$ kann auf verschiedene Arten ausgedrückt werden:

$$(i)\quad\quad \stackrel{\rightharpoonup}{DC} = (\lambda +1)\stackrel{ \rightharpoonup}{BC} + \stackrel{\rightharpoonup}{AB}$$ (5)

$$(ii)\quad\quad\stackrel{\rightharpoonup}{DC} = \gamma \cdot\stackrel{ \rightharpoonup}{AB},$$ (6)

für einen Skalar $\gamma$. Durch Koeffizientenvergleich erhält man $\lambda=-1$ und $\gamma =1$, was zur Behauptung $\stackrel{\rightharpoonup}{DC} \ =\ \stackrel{\rightharpoonup} {AB}$ führt.

3. Satz von Veblen und Young (alt)
Satz: Gegeben sei ein affiner Raum (im Sinne der LA I) über einem Vektorraum $V$ und ein Viereck $E=\{A,B,C,D\}$, wobei das Seitenpaar $(AB,CD)$ nicht windschief und auch das Seitenpaar $(AD,BC)$ nicht windschief ist.
Behauptung: Dann ist auch das Seitenpaar $(AC,BD)$ nicht windschief.
Beweis: 1. Fall: $AB \ \Vert \ CD$ und $AD \ \Vert \ BC$.
Wir wollen zeigen, dass sich die beiden Seiten schneiden oder parallel sind (und somit nicht windschief sind). Dazu muss die Frage beantwortet werden: existieren Elemente $\lambda,\gamma$ im Schiefkörper $K$, so dass für den Schnittpunkt $S$

$$S= A \ \ast \ \lambda\cdot\stackrel{\rightharpoonup}{AC} = A \ \a... ...tackrel{\rightharpoonup}{AB} + \ \gamma \ \cdot \stackrel{\rightharpoonup}{BD})$$ (7)

gilt? Um Kandidaten für $\lambda$ und $\gamma$ zu bekommen, führen wir zunächst eine Analyse durch. Wenn $S$ existiert, dann gilt für $\lambda$ und $\gamma$ folgendes:

$$\lambda \ \cdot (\stackrel{\rightharpoonup}{AB} \ + \ \stackrel{\... ... \gamma (\stackrel{\rightharpoonup} {BA} \ + \ \stackrel{\rightharpoonup}{AD}).$$ (8)

Umsortieren der Gleichung führt zu

$$(\lambda \ - \ \gamma) \stackrel{\rightharpoonup}{AD} \ = \ (1\ - \ \lambda \ \gamma)\stackrel{\rightharpoonup}{AB}.$$ (9)

Da das Paar $(\stackrel{\rightharpoonup}{AD},\stackrel{\rightharpoonup}{AB})$ linear unabhängig ist, gilt für die Skalare

$$\lambda \ = \ \gamma$$ (10)

$$\mbox{und}\quad 1-\ \lambda \ - \ \gamma \ = \ 0, \quad \mbox{also}\quad \lambda = 2^{-1}.$$ (11)

Nun werden zwei Fälle betrachtet.
Fall (a): In unseren Körper $K$ ist $2 \not= 0$. Dann setzen wir $\lambda:= 2^{-1} \in K$ und $\gamma:= \lambda$.
Fall (b): In unserem Körper $K$ gilt $2 = 0$. Es ist zu zeigen, dass $\langle \stackrel{\rightharpoonup}{AC} \rangle = \langle \stackrel{\rightharpoonup}{BD} \rangle$ ist. Wir wissen, dass gilt:

$$\stackrel{\rightharpoonup}{AC} = \stackrel{\rightharpoonup}{AB} + \stackrel{ \rightharpoonup}{BC}$$ (12)

$$\mbox{und}\quad \stackrel{\rightharpoonup}{BD} = \stackrel{\rightharpoonup}{BC} + \stackrel{ \rightharpoonup}{CD}$$ (13)

Aus der ersten Gleichung folgt, dass $\stackrel{\rightharpoonup}{BC} \ =\ \stackrel{\rightharpoonup}{AC} - \stackrel{\rightharpoonup}{AB}$ ist. Diesen Zusammenhang in die zweite Gleichung eingesetzt ergibt $\stackrel{\rightharpoonup} {BD} = \stackrel{\rightharpoonup}{AC} - \stackrel{\rightharpoonup}{AB} + \stackrel {\rightharpoonup}{CD}$, woraus, wegen der Gleichheit $\stackrel{\rightharpoonup} {AB} = \stackrel{\rightharpoonup}{CD}$ der gesuchte Zusammenhang $\langle \stackrel{\rightharpoonup}{AC} \rangle = \langle \stackrel{\rightharpoonup}{BD} \rangle$ folgt.
Das heißt, es existieren solche gesuchten $\lambda$ und $\gamma$, für die die Gleichung (8) erfüllt ist.

Für die Durchführung des Beweises wählen wir nun $\lambda$ und $\gamma$ wie in der Analyse berechnet und bilden $S = A \ \ast \lambda\cdot\stackrel{ \rightharpoonup}{AC}$. Daraus folgt, dass der Punkt $S$ auf der Seite $AC$ liegt, also $S \ I \ AC$. Der Vektor $\lambda\cdot\stackrel{\rightharpoonup}{AC}$ kann auch dargestellt werden durch den Zusammenhang $\lambda\cdot\stackrel{\rightharpoonup}{AC}\ =\ \stackrel{\rightharpoonup}{AB}\ +\ \gamma\cdot \stackrel{\rightharpoonup}{BD}$, woraus für den Punkt $S$ folgt:

$$S=A\ast(\stackrel{\rightharpoonup}{AB}\ +\ \gamma\cdot \stackrel{\rightharpoonup}{BD}).$$ (14)

Andererseits ist $S=B\ast \gamma\cdot \stackrel{\rightharpoonup}{BD}$ und somit gilt $S \ I \ BD$. Das bedeutet, dass $S$ auf beiden Seiten liegt, und es folgt: $S \ =\ AC\ \wedge \ BD$.

2.Fall: $AB \ \Vert \ CD$ und $T:= \ AD\ \wedge \ BC$ existiert.
Wir führen zunächst eine Analyse durch: Das Paar $(\stackrel{\rightharpoonup} {TA},\ \stackrel{\rightharpoonup}{TB})$ ist linear unabhängig und deshalb drücken wir alle Vektoren mit Hilfe dieser beiden aus. In dieser Analyse nehmen wir an, dass der Schnittpunkt $S \ =\ AC\ \wedge \ BD$ existiert. Dann kann der Vektor $\stackrel{\rightharpoonup}{TS}$ für geeignete Skalare $\lambda, \gamma,\epsilon$ folgendermaßen geschrieben werden:

$$\stackrel{\rightharpoonup}{TS}\ = \left\{\begin{array}{r@{\ +\ }l... ...{-TB} \ +\ \varepsilon\cdot \stackrel{\rightharpoonup}{TA})\end{array} \right..$$ (15)

Dabei gilt $\varepsilon \ \not= \ 0$, da sonst die Punkte $C$ und $T$ zusammenfallen, und außerdem ist $\varepsilon \ \not= \ 1$, da sonst $C\ =\ B$ gilt. Der Vergleich der Koeffizienten führt zu:

$$\lambda +\gamma\cdot\varepsilon = 1,$$

$$\lambda\cdot\varepsilon +\gamma = 1.$$ (16)

Also $\gamma=(1+\varepsilon)^{-1}$ und $\lambda = 1- (1+\varepsilon)^{-1}\cdot\varepsilon$.
Der Fall $\varepsilon \ =\ -1$ muss gesondert betrachtet werden. Nach der Voraussetzung sind die Seitenpaare $(AB,CD)$ und $(AD,BC)$ jeweils nicht windschief. Der Punkt $T$ ist nun aber der Schnittpunkt der Diagonalen, so dass auch das Seitenpaat $(AC,BD)$ nicht windschief und somit die Behauptung des Satzes erfüllt ist.
Für den eigentlichen Beweis wird der Spieß  umgedreht und die Analyse rückwärts betrachtet. Wir wählen also die Skalare $\gamma=(1+\varepsilon)^{-1}$ und $\lambda = 1- (1+\varepsilon)^{-1}\cdot\varepsilon$. Dann bilden wir

$$S\ = \ T\ \ast\ \stackrel{\rightharpoonup}{TS}$$

$$= \ T\ \ast\ \left(\stackrel{\rightharpoonup}{TA}\ +\ \lambda \cdot \stackrel{\rightharpoonup}{AC}\right)$$

$$= \ T\ \ast\ \left(\stackrel{\rightharpoonup}{TA}\ +\ \lambda \cdot... ...ghtharpoonup}{-TA}\ +\ \varepsilon\cdot \stackrel{ \rightharpoonup}{TB})\right)$$

$$= \ T\ \ast\ \left(\stackrel{\rightharpoonup}{TB}\ +\ \gamma \cdot ... ...oonup}{TA})\right)\quad(\mbox{nach der Wahl von}\ \lambda\ \mbox{und}\ \gamma)$$

$$= \ T\ \ast\ \left(\stackrel{\rightharpoonup}{TB}\ +\ \lambda \cdot \stackrel{\rightharpoonup}{BD}\right).$$ (17)

Das bedeutet, dass $S$ sowohl auf der Seite $AC$, als auch auf $BD$ liegt. Also ist $S$ der Schnittpunkt der beiden Seiten und die Behauptung ist bewiesen.