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Hinweise zur Abfassung eines mathematischen Hausaufsatzes

U. Schoenwaelder
http://www.math.rwth-aachen.de/ ~Ulrich.Schoenwaelder
Aachen, 2000-09-27

Inhalt:
Ziel 1.a: Mathematik selbst entwickeln
Ziel 1.b: Mathematik zusammenfassend darstellen
Ziel 2: Mathematik durch Ausformulieren präzisieren, kontrollieren und weiter entwickeln
Ziel 3: Mathematik leserfreundlich vermitteln
Literaturhinweise
Verweis auf Literatursammlungen

Das Ziel eines mathematischen Hausaufsatzes im Grund- oder Hauptstudium Mathematik besteht in drei Dingen:

  1. Mathematik selbst entwickeln oder zusammenfassend darstellen,
  2. sie durch Aufschreiben präzisieren und kontrollieren,
  3. einem Leser auf etwa gleicher mathematischer Entwicklungsstufe diese Mathematik leserfreundlich vermitteln.

Ich gehe nun diese Ziele der Reihe nach kommentierend durch.

Ziel 1.a: Mathematik selbst entwickeln
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Das ist die eigentliche Tätigkeit des Mathematikers: ein Problem formulieren, abstrahieren, theoretisch analysieren, im Anwendungsbereich interpretieren. Teile dieser Tätigkeiten werden in den üblichen wöchentlichen Übungsaufgaben zu einer Vorlesung geübt, hauptsächlich das Beweisen und Widerlegen vorgegebener Behauptungen innerhalb einer mathematischen Theorie.

Das Thema des Hausaufsatzes (mit seiner Anleitung) wird die globale Problemstellung vorgeben. Also geht es hier um den Prozess des Problemlösens. Man wird auf seinen Schmierzetteln

Tipps zum Problemlösen (Auffinden einer Vermutung, eines Beweises, eines Gegenbeispiels) findet man in Arbeiten und Büchern zur Didaktik der Mathematik unter den Stichwörtern
Problemlösen und Heuristik.

Mathematik selbst zu entwickeln ist also eine komplexe Tätigkeit, bei der man den Überblick behalten muss. Dazu kann ich folgende Tipps geben.

a) Legen Sie zwecks Materialsammlung einen Ordner an (bei dem man an beliebiger Stelle Seiten herausnehmen und einlegen kann); das kann auch ein Directory auf dem Computer sein oder beides.

b) Legen Sie ein Inhaltsverzeichnis (gegliedert) für diese Materialsammlung an, gemäß dem die entstehenden Dokumente abgelegt werden. Das Verzeichnis wird im Laufe der Zeit erweitert oder geändert werden.

c) Das “Ergebnis” einer Arbeitsphase wird ausformuliert mit Datum im Ordner dokumentiert. Das Ergebnis kann sein:

Wichtig ist, dass mathematische Aussagen mit all ihren Voraussetzungen exakt ausformuliert werden, weil man sonst später seinen eigenen Text nicht mehr versteht. Die Schmierzettel, deren Inhalt dokumentiert wurde, sind zu vernichten, um den Überblick behalten zu können. Wenn umfassendere Ergebnisse dokumentiert sind, sollten frühere Dokumente mit Teilergebnissen entfernt werden.

d) Schon beim Formulieren für den Ordner sollten die formalen Prinzipien der Textgestaltung beachtet werden, die unter Ziel 3 aufgeführt sind, damit man später selbst die Dokumente noch lesen und verstehen kann und man eine inhaltliche (logische) Kontrolle (Ziel 2) bekommen kann.

Ziel 1.b: Mathematik zusammenfassend darstellen
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Hier soll bekannter Stoff unter einem einheitlichen Gesichtpunkt dargestellt werden -- ähnlich wie bei einer Themenklausur im 1. Staatsexamen Mathematik. Vor dem ersten Textentwurf muss eine
Stoffsammlung und Gliederung
erstellt werden. Damit man den Überblick behalten kann, empfiehlt es sich auch hier, die unter Ziel 1.a dargestellten Tipps zum Überblickbehalten zu beachten. Zur Stoffsammlung gehören insbesondere Beispiele und Gegenbeispiele für Begriffe sowie Beispiele für die dargestellte Theorie.

Bei der Erstellung der Gliederung (Auswahl und Anordnung des Inhalts) wird man darauf achten, dass sich alles harmonisch unter dem einheitlichen Gesichtspunkt des Themas einordnen läßt, so dass ein in sich geschlossenes Werk entsteht. So sollten etwa Definitionen, die sich direkt auf das Thema beziehen, wiederholt werden, während bei Begriffen aus dem Umfeld auf die Literatur verwiesen werden kann.

Ziel 2: Mathematik durch Ausformulieren präzisieren, kontrollieren und weiter entwickeln
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Mathematische Ideen, Zusammenhänge, Begriffe und Ergebnisse können auf verschiedenen sprachlichen Niveaus (mündlich oder schriftlich) formuliert werden, die sich durch den Grad der Formalisierung und der Details unterscheiden. Sie reichen von einer umgangssprachlichen Formulierung der Ziele, Methoden und Ergebnisse des Aufsatzes über fachsprachliche Ausführungen in normaler Sprache ohne und mit mathematischen Symbolen bis zur völligen Formalisierung (etwa in Symbolen der mathematischen Logik oder in einer Programmiersprache). Es handelt sich um unterschiedliche Niveaus der Präzisierung, deren Verwendung im Aufsatz unterschiedliche Ziele hat. Zum Beispiel wird man in einer einleitenden Übersicht (des ganzen Aufsatzes oder eines Kapitels) oder in einer Zusammenfassung des bisher Gesagten auf einem allgemeinen sprachlichen Niveau möglichst ohne Formeln bleiben. Ein extrem formalisierter Text ist schwer lesbar, und seine Verwendung muss deshalb wohl überlegt sein. Auf jeden Fall sind die verschiedenen Niveaus der Präzisierung für den Leser deutlich erkennbar zu trennen (weshalb auch Symbole der mathematischen Logik nichts in einem normalen fachsprachlichen Textteil zu suchen haben).

Ein Ziel der Präzisierung mathematischer Ideen besteht in der dadurch ermöglichten logischen Kontrolle des Gesagten. Bei der Formulierung der Dokumente im Ordner gemäß Ziel 1.a wird man immer wieder Lücken oder Fehler im Gedankengang aufdecken (die dann geschlossen oder korrigiert werden müssen); das Schreiben verlangsamt den Gedankenfluss. Dazu Gallin -- Ruf (1998), S. 142:

Die elementare Bedeutung des Schriftlichen für den Prozeß des Verstehens und für die Verständigung wird verkannt. Unter der Angst, Fehler zu machen, verkümmert die schriftsprachliche Kompetenz und spielt nach Abschluß der Schulzeit meist nur noch eine marginale Rolle.

Dazu auch schon Max Enders (1955), S. 59, zum Mathemtikunterricht:

... Das ist wieder Sprachunterricht und muß den Schülern auch als solcher zum Bewußtsein kommen. Sie müssen überhaupt frühzeitig an den Gedanken gewöhnt werden, daß man nichts wirklich verstanden hat, was man nicht in einer klaren und auch genügend wendigen Sprache ausdrücken kann. Sie müssen wissen, daß Deutsch das wichtigste Schulfach ist und daß es alle anderen Fächer durchdringt.

Andererseits gestattet die Einführung von Symbolen und Begriffen das kurze Zusammenfassen komplizierter Sachverhalte und ermöglicht so erst den Aufbau komplexer mathematischer Theorien (Abstraktion). So befördert das Aufschreiben von Teilergebnissen ihre Weiterentwicklung. Vgl. R. W. Kenyon (1989).

Ziel 3: Mathematik leserfreundlich vermitteln
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Als Leser eines mathematischen Aufsatzes sollte der Autor eine Person von vergleichbarer mathematischer Reife wie er selbst vor Augen haben; in Frage kommen also etwa S II-Schüler, Mathematikstudierende im Grundstudium oder im Hauptstudium, Examenskandidaten. Das heißt natürlich nicht, dass der Leser schon über die Inhalte des Aufsatzes Bescheid wissen soll.

Der Leser möchte wissen, was der Text insgesamt will (einheitlicher Gesichtspunkt) und was an jeder Stelle (Kapitel, Paragraf) bisher geleistet wurde und als nächstes beabsichtigt ist (Wegweiser).

Begriffe und Situationen werden durch Beispiele und Gegenbeispiele sowie Skizzen verständlich gemacht. Sie können vor oder nach einer allgemeinen Darstellung eingefügt werden.

Der Gebrauch des Computers als Schreibgerät via Textverarbeitungssystemen wie WORD, dem für Mathematiktexte entwickelten TEX-System, Computeralgebrasystemen mit Textmöglichkeiten wie DERIVE oder MAPLE oder einfach HTML ist dringend zu empfehlen, da dies leichtes Korrigieren/Überarbeiten gestattet und zu ansehnlichen Druckerzeugnissen führt.
Es lohnt sich, das Zehnfingersystem zu erlernen. Hierzu berichtet der Jenaer Erziehungswissenschaftler Günther Scholz (s. DIE ZEIT Nr. 18, 27. April 2000, S. 36):
"Wenn Kinder frühzeitig das Zehnfingersystem am Computer lernen, erkennen sie mehr Schreibfehler selbst und arbeiten konzentrierter, auch wenn sie unter Lese- und Schreibschwäche leiden. ... Nach einem Jahr schrieben die Schüler am Computer bereits doppelt so schnell wie mit der Hand."

Der hohen Druckqualität sollte aber neben dem Inhalt auch die äußere Form des Aufsatzes entsprechen. Das bedeutet in erster Linie, dass man korrektes Deutsch (Englisch?) und die (neuen?) Regeln der Rechtschreibung beachtet; hinzu kommen typografische Regeln für mathematische Formeln. Die Einhaltung solcher Regeln erleichtert das Lesen des Textes (Leserfreundlichkeit), die Nichtbeachtung provoziert Ablenkung des Lesers vom Inhalt. Dazu Gallin-Ruf (1998), S. 130:

Lesen ist ein komplizierter und störanfälliger Vorgang. Er wird durch normierte Schriftbilder erheblich erleichtert.

Ich erlaube mir, abschließend auf einige grundlegende Regeln explizit hinzuweisen.

R1. Man schreibt in vollständigen Sätzen. Sie beginnen mit einem großen Buchstaben und enden mit einem Punkt. (Symbole der mathematischen Logik wie Pfeile und Quantorensymbole haben hier nichts zu suchen.) Herbert S. Wilf [Wilf (1996)] rät dem Lehrer:

Insist on complete sentences! Subjects, verbs, objects, all that good stuff. Even punctuation; commas after displayed equations. Show no mercy.

R2. Zahlwörter bis "zwölf" werden im Text ausgeschrieben, also nicht in Ziffern wiedergegeben.
R3. Die Kommaregeln dienen der Strukturierung des Textes. Untergeordnete Nebensätze werden durch Komma abgetrennt; durch "und" oder "oder" verbundene Nebensätze gleicher Stufe werden nicht durch Komma getrennt. Durch "und" oder "oder" verbundene längere Hauptsätze sollten vor dem "und/oder" durch Komma getrennt werden.
R4. Nach Semikolon ; und Doppelpunkt : wird klein geschrieben.
R5. Nach Satzzeichen ist immer ein Leerraum erforderlich, auch in mathematischen Formeln. Beispiel: das Paar (x, y). Der Leerraum ist auch nach einem Abkürzungspunkt zwingend wie bei d. h. und bei z. B.. [Mathematiker setzen hier gern zwei Punkte entgegen Duden-Regeln.]
R6. Klammern klammern: kein Leerraum hinter der Auf-Klammer (, kein Leerraum vor der Zu-Klammer ).
R7. Symbole für mathematische Objekte (Variablen) werden kursiv gesetzt, z. B. x.
R8. Mathematische Formeln sind eingefügte Teile des fortlaufenden Textes; sie können auf einer eigenen Zeile herausgehoben werden. Die Kommaregeln gelten aber weiter.
R9. Mathematische Symbole, die nicht zu einer gemeinsamen Formel gehören, sollten durch normalen Text getrennt sein.
Schlecht: Wir betrachten eine Gruppe G. N sei ein Normalteiler von G.
Besser: Wir betrachten eine Gruppe G mit einem Normalteiler N.
R10. Bei der Nummerierung von Teilen einer Aufzählung wird nach der laufenden Nummer ein Punkt gesetzt, wenn Text folgt; eine Klammer wird nur benutzt, wenn Zahlen folgen, etwa bei Rechenaufgaben. Niemals werden Punkt und Klammer nach der Nummer gesetzt. Beispiele:
1. Lebensmittel 1) 300 DM
2. Strom 2) 100 DM
R11. Die Bedeutung von "das heißt" ist, dass der folgende Satz oder Satzteil äquivalent zum vorhergenden ist. Insbesondere darf der nachfolgende Textteil nicht eine echt schwächere Formulierung des vorangehenden darstellen. Deshalb müssen sich der vorangehende und der nachfolgende Text auch grammatikalisch entsprechen: bei beiden Teilen handelt es sich etwa
um einen Hauptsatz,
um einen mit "wenn" eingeleiteten Nebensatz,
um einen Satzteil, etwa Objekt im gleichen Fall oder gleichartiges Attribut.
Beispiel: "Mehrsilbige Wörter trennt man {nach Sprechsilben}, d. h. {so, wie sie sich beim langsamen Sprechen von selbst zerlegen}." [Beide Teile antworten in äquivalenter Weise auf die Frage: Wie?]

R12. Zusammengesetzte Begriffe bilden im Deutschen ein Hauptwort und werden zusammengeschrieben, etwa
Dieselmotor, Informatikstudium, Multiplechoiceverfahren,
Schiller-Museum, 7-Bit-Code, Full-Time-Job.
Getrennte Hauptwörter für einen Begriff wie im Englischen (etwa computer science major) gibt es im Deutschen nicht. (In einem amerikanischen Buch über HTML fand ich zum Beispiel den Begriff Cascading Style Sheet Properties Quick Reference.) Bei der Übertragung von englischen Fachbegriffen ins Deutsche ist dies besonders zu beachten. Beispiel: log in procedure wird zu Log-in-Prozedur (mit Bindestrichen).

Abgesehen davon, dass Sie Ihren Hausaufsatz selbst mehrmals überarbeiten, lassen Sie ihn vor der Abgabe von einem Dritten lesen. Korrekturen lassen sich bei Computer-Produktion des Textes leicht einarbeiten.

Obiger Dritter wie auch der Zweite, nämlich der Aufgabensteller, sollte Korrekturvorschläge handschriftlich unter Verwendung der üblichen Korrekturzeichen anbringen. Man findet sie im Duden und auch im AMS-Manual [Doob et al. (1962)]. Zum Beispiel steht ein gotisches d für deleatur, für Herausnehmen/Streichen und ein umgedrehtes P mit Doppelstrich für Paragraph.

Literaturhinweise
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  1. Deutsches Institut für Normung e. V. (DIN) (1996), Schreib- und Gestaltungsregeln für die Textverarbeitung (Sonderdruck von DIN 5008), Berlin: Beuth. ISBN 3-410-13545-6. HB: W1014.
  2. J. L. Doob et al. (1962), (1984, 1990), A Manual for Authors of Mathematical Papers, Amer. Math. Soc. ISBN 0-8218-0022-1.
  3. Duden (1997), Die neue amtliche Rechtschreibung: Regeln und Wörterverzeichnis nach der zwischenstaatlichen Absichtserklärung vom 1. Juli 1996, Duden-Taschenbücher 28, Mannheim: Dudenverlag. ISBN 3-411-06281-9. HB: Nf1362-28.
  4. Max Enders (1955), Die Verwendung der Netze zum Aufbau einer Gerometrie der Unterstufe, Der Mathematikunterricht 1, Heft 1, S. 29--76. HB: Z5577-1/2.
  5. Peter Gallin -- Urs Ruf (1998), Sprache und Mathematik in der Schule: auf eigenen Wegen zur Fachkompetenz, illustriert mit sechzehn Szenen aus der Biographie von Lernenden, Kallmeyer. ISBN 3-7800-2014-9. HB: Ka2744.
  6. Peter Gallmann -- Horst Sitta, Duden, Die Neuregelung der deutschen Rechtschreibung: Regeln, Kommentar und Verzeichnis wichtiger Neuschreibungen, Duden-Taschenbücher 26, Mannheim: Dudenverlag. ISBN 3-411-06261-4. HB: Nf1362-26.
  7. L. Gillman (1987), Writing Mathematics Well, Math. Assoc. of America. ISBN 0-88385-443-0. MB: 14415 Handbibliothek.
  8. Nicholas J. Higham (1993), Handbook of Writing for the Mathematical Sciences, Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM). ISBN 0-89871-314-5. Formalia und technische Tipps (TEX). IB: Monographien: Higham; Inst.-Bibl. Prozesstechnik: Ae003.
  9. Ulrich D. Holzbaur -- Martina M. Holzbaur (1998), Die wissenschaftliche Arbeit: Leitfaden für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker und Betriebswirte, Carl Hanser Verlag. ISBN 3-446-19427-4. HB: Rf1685. Enthält auch Hinweise auf weiterführende Literatur, z. B. zum wissenschaftlichen Definieren (S. 21), zum Literaturverzeichnis (S. 35), zum Projektmanagement (S. 41), zu Problemlösungstechniken (S. 67 und 70).
  10. Russel W. Kenyon (1989), Writing is problem solving. Ch. 6, S. 73 ff in: Paul Connolly -- Teresa Vilardy (Hg.), Writing to Learn Mathematics and Science, New York, NY: Teachers College Press. Reprinted in: The College Mathematics Journal 21 (1990), 2-19. ISSN 0746-8342.
  11. J. J. Price (1989), Learning mathematics through writing: some guidelines, College Mathematics Journal 11, 393-401.
  12. Herbert S. Wilf (1996), Epsilon Sandwiches, Focus MAA, April 1996, 24--25.

Ich weise abschließend auf meine Literatursammlungen
- zum wissenschaftlichen Arbeiten (dvi-File oder ps-File),
- zum Problemlösen (dvi-File oder ps-File) und
- zum Schreiben von mathematischen Texten (dvi-File oder ps-File)
hin.


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