Zusammenfassung

In diesem Graduiertenkolleg sollen Fragen aus der Mathematik und den Ingenieurwissenschaften behandelt werden, zu deren erfolgreicher Bearbeitung problem-inhärente hierarchische Strukturen und Symmetrien in Betracht gezogen werden müssen. Als Beispiel seien die Modellierung und numerische Behandlung turbulenter Strömungen genannt, wo die physikalische Hierarchie der turbulenten Strukturen in eine numerische Hierarchie mit einer Grob-Fein-Struktur abgebildet wird. Ein weiteres Beispiel liefert der modulare Aufbau eines Kommunikations-Netzwerkes: Das einzelne Modul des Netzwerkes sieht im Kleinen so aus wie das Netzwerk im Großen, und das gesamte Netzwerk kann selbst wieder Teil eines noch größeren Clusters sein.

Symmetrie dient dazu, Gleichartigkeit innerhalb eines hierarchischen Systems zu definieren: Zwei Teilstrukturen werden als gleichartig angesehen, wenn sie durch eine Symmetrie-Operation auseinander hervorgehen. Die Existenz von Symmetrie in einem hierarchischen System führt zu einer Reduktion seiner Komplexität. Diese Ideen finden etwa Verwendung in der Theorie dynamischer Systeme, wenn mittels Symmetriereduktion aus einer parameterabhängigen Familie dynamischer Systeme eine Hierarchie von Systemen mit immer höherer Symmetrie entsteht.

Das Graduiertenkolleg ist verankert in der Mathematik, wobei die gewählten Themenbereiche von Anwendungen außerhalb der Mathematik motiviert sind. Die Palette der Themen reicht von der Grundlagenforschung (Differentialgleichungen, Wavelets, Graphen, Kombinatorik), über die mathematische Modellierung von Naturvorgängen, sodann über algorithmische Fragen (Parallelisierung numerischer und algebraischer Algorithmen, Mehrgitterverfahren) bis hin zur Entwicklung und Analyse technischer Verfahren (Automatische Bahnführung unbemannter Fluggeräte, Optimierung verfahrenstechnischer Prozesse). Die Breite der behandelten Themen, die durch die fachübergreifenden Konzepte ,,Hierarchie'' und ,,Symmetrie'' vielfältig verzahnt sind, wird zu Synergieeffekten führen. Wesentliche Ziele liegen in der Grundlagenforschung, in der Entwicklung von Algorithmen und in der Analyse und Simulation technischer Verfahren und physikalischer Phänomene. Die Struktur des Kollegs und die Beziehungen zwischen den beteiligten Gruppen wird durch die untenstehende dreischichtige Pyramide veranschaulicht. Die interdisziplinäre Spannweite der Teilprojekte, die durch Gemeinsamkeiten in der mathematischen Struktur eng verknüpft sind, begründet die große Zahl der beteiligten Hochschullehrer.

Im Studienprogramm wird sowohl auf Breite als auch auf Tiefe großer Wert gelegt. Natürlich ist die fachliche Tiefe von Dissertationen ein entscheidendes Kriterium für ihre Güte. Darüber hinaus soll den Kollegiatinnen und Kollegiaten ein möglichst breiter Überblick über die im Graduiertenkolleg vertretenen Teilgebiete vermittelt werden. Dies soll sie in die Lage versetzen, in heterogen besetzten Arbeitsgruppen als Mittler zu fungieren. Die angestrebte Breite der Ausbildung wird durch die drei Komponenten ,,Bildung'', ,,Kollegseminar'' und ,,Sommerschulen'' des Studienprogramms gewährleistet. Die Bildungskomponente verlangt von den Stipendiaten den Besuch von Vorlesungen aus mindestens zwei Schichten der untenstehenden Pyramide.