Algebraische Geometrie

Thema der Vorlesung

Viele Konzepte der Kommutativen Algebra (KA) sind von ihrer geometrischen Interpretation her motiviert:
zum Beispiel der Begriff der Lokalisierung oder der Begriff der Dimension.
Diesem geometrischen Hintergrund der KA wollen wir uns in dieser Vorlesung widmen.
Dabei wird sich herausstellen, dass es eine Wechselbeziehung zwischen Algebra und Geometrie gibt
(einerseits lassen sich algebraische Sachverhalte geometrisch interpretieren,
andererseits aber auch geometrische Eigenschaften auf algebraische Weise charakterisieren).
Ein weiterer Themenschwerpunkt liegt auf der algorithmischen Seite, also bei der konkreten
rechnerischen Umsetzung der theoretischen Resultate mit Hilfe von Computeralgebrasystemen.

Inhalt

1. Hilberts Nullstellensatz, schwache Version (Wann gibt es überhaupt Lösungen?)
2. Hilberts Nullstellensatz, starke Version (Wann haben zwei Systeme dieselbe Lösungsmenge?)
3. Null-dimensionale Ideale (Wann gibt es nur endlich viele Lösungen?)

1. Grundidee von GB
2. Berechnung --"--
3. Anwendung --"-- (z.B. konstruktive Beantwortung obiger drei Fragen)

1. Koordinatenring (Polynomfunktionen auf algebraischen Mengen)
2. Morphismen algebraischer Mengen
3. Algebraische Varietäten (Definition und Beispiele)
4. Zariski-Topologie
5. Irreduzibilität
6. Das Spektrum eines Ringes
7. Rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten
8. Produkt algebraischer Varietäten

1. Transzendenzbasen und -grad
2. Ganze Ringerweiterungen
3. Endliche Morphismen
4. Noetherscher Normalisierungssatz

1. Tangentialraum
2. Reguläre lokale Ringe

Literatur

• Brodmann: Algebraische Geometrie, Birkhäuser, 1989
• Cox, Little, O'Shea: Ideals, Varieties, and Algorithms, Springer, 1992
• Cox, Little, O'Shea: Using Algebraic Geometry, Springer, 2005
• Gathmann: Algebraic Geometry, Vorlesungsskript, TU Kaiserslautern, 2003
• Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer, 1977
• Kunz: Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Birkhäuser, 1985