$p$-modulare Systeme

Sei $R$ ein Ring. Eine Abbildung $\vert\cdot\vert:R\to{\protect \mathbb{R}}$ heißt Bewertung (siehe z.B.[CR62, §19, Definition (19.4), Seite 116]), falls

1.

$\vert x\vert \geq 0$ für alle $x\in R$,

2.

$\vert x\vert = 0$ genau dann, wenn $x=0$,

3.

$\vert x\cdot y\vert = \vert x\vert \cdot \vert y\vert$ für alle $x,y\in R$,

4.

$\vert x+y\vert \leq \vert x\vert + \vert y\vert$ für alle $x,y\in R$.

1.1.1 Beispiel ($P$-adische Bewertung)
Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K$ der Quotientenkörper von $R$, $P$ ein Primideal in $R$ und $0\not=\alpha\in K$. Das Hauptideal $\alpha R$ kann faktorisiert werden in ein Produkt von positiven und negativen Potenzen von Primidealen. Sei $\nu_P(\alpha)$ der Exponent von $P$, der in dieser Faktorisierung auftaucht. Also ist $\alpha\in P^{\nu_P(\alpha)}$, aber $\alpha\not\in P^{\nu_P(\alpha)+1}$. Dann wird durch $\vert\alpha\vert _P := c^{\nu_P(\alpha)}$ für ein $0<c<1$ und $\alpha\in K\setminus\{0\}$ eine Bewertung auf $R$ definiert. $\vert\cdot\vert _P\glossary{$\vert\cdot\vert _P$>$P$-adische Bewertung}$ heißt $P$-adische Bewertung. (Siehe auch [CR62, §19, Seite 115f].) $\blacksquare$

Sei $R$ ein Ring und $\vert\cdot\vert$ eine Bewertung auf $R$. Eine Folge $(x_n)_{n\in{\protect \mathbb{N}}} \subset R$ heißt Cauchy-Folge, wenn $(\vert x_n-x_{n+1}\vert)_{n\in{\protect \mathbb{N}}} \subset {\protect \mathbb{R}}$ eine Nullfolge in ${\protect \mathbb{R}}$ ist, d.h. $\lim_{n\to\infty} \vert x_n-x_{n+1}\vert = 0$. Der Ring $R$ heißt vollständig bezüglich der Bewertung $\vert\cdot\vert$, falls für jede Cauchy-Folge $(x_n)_{n\in{\protect \mathbb{N}}} \subset R$ ein $x\in R$ existiert mit $\lim_{n\to\infty}\vert x-x_n\vert = 0$.

Sei $K$ ein Körper und $R\subset K$ ein Ring.

1.

$R$ heißt Bewertungsring in $K$, wenn $K = R \cup \{a^{-1} \mid a\in R\setminus\{0\}\}$.

2.

$R$ heißt diskreter Bewertungsring, wenn $R$ ein Bewertungsring und zusätzlich ein Hauptidealring ist.

In einem Bewertungsring $R$ bilden die Nichteinheiten $R\setminus R^*$ ein Ideal, denn für $a,b\in R\setminus R^*$ ist auch $a+b = b(\frac ab+1) \in R\setminus R^*$ (oBdA.sei $\frac ab\in R$).

Ist $\pi R$ das maximale Ideal in dem diskreten Bewertungsring $R$, so hat jedes Element $r\in R$ eine eindeutige Darstellung $r = u\pi^n$ mit $n\in{\protect \mathbb{Z}}$ und einer Einheit $u\in R^*$. Dann wird durch

$$\vert\cdot\vert _\pi : R\to {\protect\mathbb{R}}: \begin{cases} r \mapsto c^n,& 0\not=r=u\pi^n,\\ 0 \mapsto 0,\end{cases}$$

für ein $0<c<1 \in {\protect \mathbb{R}}$, eine Bewertung auf $R$ definiert.

Sei $K$ ein Körper mit $\operatorname{char}(K)=0$ und $R$ ein diskreter Bewertungsring in $K$ mit dem maximalen Ideal $\pi R$, der vollständig bezüglich $\vert\cdot\vert _\pi$ ist. Weiterhin habe der Körper $F = R/\pi R$ die Charakteristik $p$. Dann heißt $(K,R,F)\glossary{$(K,R,F)$>$p$-modulares System}$ ein $p$-modulares System.

1.1.2 Satz (Vervollständigungssatz)   Sei $R$ ein diskreter Bewertungsring in einem Körper $K$ und $\pi R$ das maximale Ideal in $R$. Dann existiert ein Erweiterungskörper $\widetilde{K}\supset K$ und ein Ring $\widetilde{R}\supset R$, so daß $\widetilde{R}$ ein Bewertungsring in $\widetilde{K}$ ist, der vollständig ist bezüglich einer Fortsetzung von $\vert\cdot\vert _\pi$ auf $\widetilde{R}$.

Beweis:Siehe z.B.[CR62, §19, Seite 120f].

1.1.3 Beispiel (Vervollständigungen)

• Die Betragsfunktion definiert eine Bewertung auf ${\protect \mathbb{Q}}$. Dann ist ${\protect \mathbb{R}}$ eine Vervollständigung von ${\protect \mathbb{Q}}$ bezüglich der Betragsfunktion.
• Sei $p$ eine Primzahl und $\vert\cdot\vert _p$ die $p$-adische Bewertung auf ${\protect \mathbb{Q}}$. Dann ist die Vervollständigung von ${\protect \mathbb{Q}}$ bezüglich $\vert\cdot\vert _p$ der Körper der $p$-adischen Zahlen ${\protect \mathbb{Q}}_p$. Der zugehörige vollständige diskrete Bewertungsring ist ${\protect \mathbb{Z}}_p$, der Ring der ganzen $p$-adischen Zahlen. Es gilt ${\protect \mathbb{Z}}_p/p{\protect \mathbb{Z}}_p \cong {\protect \mathbb{F}}_p$, also ist $({\protect \mathbb{Q}}_p,{\protect \mathbb{Z}}_p,{\protect \mathbb{F}}_p)$ ein $p$-modulares System.

$\blacksquare$

1.1.4 Bemerkung
Sei $K$ eine algebraische Erweiterung von ${\protect \mathbb{Q}}$, $R$ der Ring der ganzen algebraischen Zahlen in $K$, $P$ ein Primideal in $R$. Dann ist $P\cap {\protect \mathbb{Z}}= p{\protect \mathbb{Z}}$ für eine Primzahl $p$ und $p$ ist die einzige rationale Primzahl in $P$. Es gilt $pR \subset P \subset R$ und $R/P =: F$ ist ein Körper der Charakteristik $p$.

Sei $\widetilde{K}$ die $P$-adische Vervollständigung von $K$ und definiere $\widetilde{R} := \{\alpha\in \widetilde{K}\mid \vert\alpha\vert _P \leq 1\}$. Dann ist $\widetilde{P} = \{\alpha\in \widetilde{K}\mid \vert\alpha\vert _P < 1\}$ das maximale Primideal in $\widetilde{R}$. $\widetilde{R}$ ist Hauptidealbereich und es gilt $\widetilde{R}\cap K = \{\alpha\in K\mid \vert\alpha\vert _P \leq 1\}$, sowie $\widetilde{R}/\widetilde{P}\cong F$. Damit ist $(\widetilde{K}, \widetilde{R}, F)$ ein $p$-modulares System. (Siehe [CR62, Theorem (19.5), Seite 117 und Seite 121f].)