Idempotente und projektive Moduln

Eine Einführung zu Idempotenten und Blöcken findet man z.B.in [Fei82, I,7, ab Seite 21]. Zu den Zerlegungszahlen siehe z.B. [Fei82, I,17, ab Seite 66] oder [CR62, Seite 591].

Sei $A$ ein Ring. Ein Element $e\in A\setminus\{0\}$ heißt Idempotent, falls $e^2 = e$. Zwei Idempotente $e,e'\in A$ heißen orthogonal, falls $ee' = e'e = 0$. Ein Idempotent $e\in A$ heißt primitiv, falls $e$ keine Summe von zwei orthogonalen Idempotenten ist. $e\in A$ heißt zentral-primitives Idempotent, wenn es im Zentrum von $A$ liegt und keine Summe von zwei orthogonalen zentralen Idempotenten ist. Sei $1 = e_1 + \cdots + e_k\in A$ eine Zerlegung der $1\in A$ in paarweise orthogonale Idempotente $e_i^2=e_i\in A$. Dann ist

$$A = e_1 A \oplus \cdots \oplus e_k A$$ (1.1)

eine Zerlegung von $A$ in Rechtsideale $e_iA$ in $A$. Ist ein $e_i$ primitiv, so ist $e_iA$ unzerlegbar. Ist ein $e_i$ zentral, so ist $e_iA$ ein zweiseitiges Ideal.

Im folgenden sei $(K,R,F)$ ein $p$-modulares System, $G$ eine endliche Gruppe und $A=RG$ die Gruppenalgebra.

Ein endlich erzeugter $A$-Modul $P$ heißt projektiv, wenn jede exakte Sequenz $0 \to V \to W \to P \to 0$ mit endlich erzeugten $A$-Moduln $V$ und $W$ zerfallend ist. Ein Charakter, der zu einem projektiven $A$-Modul $P$ gehört, heißt projektiver Charakter. Ist $e\in A$ ein Idempotent, so ist $eA$ ein projektiver $A$-Modul. Ist umgekehrt $P$ ein projektiver unzerlegbarer $A$-Modul, so folgt mit dem Satz von Krull-Schmidt (siehe z.B.[Fei82, Theorem I,11.3, Seite 37]), daß $P\cong eA$ für ein primitives Idempotent $e\in A$.

Ist $V$ ein $RG$-Modul, so ist $\overline{V} := V/V(\pi)$ ein $FG$-Modul. Insbesondere ist $\bar{A} = RG/RG(\pi) = FG$.

Aus der Vollständigkeit von $R$ folgt mit dem Satz von Brauer, Nakayama (siehe z.B.[Fei82, Theorem I,12.4, Seite 39]), daß die Abbildung $A\to \bar{A}: e\mapsto \bar{e}$ eine Bijektion der Isomorphietypen primitiver Idempotente von $A$ auf die Isomorphietypen primitiver Idempotente in $\bar{A}$ liefert. Außerdem folgt ([Fei82, Theorem I,17.3, Seite 65]), daß diese Abbildung eine Bijektion der zentral-primitiven Idempotente von $A$ auf die zentral-primitiven Idempotente von $\bar{A}$ liefert.

Sei $U_1,\dots,U_k$ ein vollständiges Repräsentantensystem von projektiven unzerlegbaren $A$-Moduln. Sei $L_i\glossary{$L_i$>irreduzibler $FG$-Modul} := U_i\glossary{$U_i$>projektiver unzerlegbarer $RG$-Modul}/\operatorname{Rad}(U_i)$. Dann ist $L_1,\dots,L_k$ ein vollständiges Repräsentantensystem von irreduziblen $\bar{A}$-Moduln, denn es gilt $L_i \cong \overline{U}_i/\operatorname{Rad}(\overline{U}_i)$, da $A/J(A) \cong \bar{A}/J(\bar{A})$ (siehe z.B.[Fei82, Corollary I,13.6 und Theorem I,13.7, Seite 43f]).

Sei $X_1,\dots,X_n$ ein vollständiges Repräsentantensystem von irreduziblen $KG$-Moduln. Da $R$ ein Bewertungsring ist, existieren $R$-freie $RG$-Moduln $M_i$ für $i=1,\dots,n$, deren $R$-Basis eine $K$-Basis von $X_i\glossary{$X_i$>irreduzibler $KG$-Modul} \cong (M_i)_K := M_i \otimes_R K$ ist (siehe z.B.[Fei82, Lemma I,17.5, Seite 65]). Für $s=1,\dots,n$ und $t=1,\dots,k$ sei $d_{st}$ die Vielfachheit von $L_t$ in einer Kompositionsreihe von $\overline{M}_s$. Man kann zeigen, daß die nichtnegativen Zahlen $d_{st}\glossary{$d_{st}$>Zerlegungszahl}$ unabhängig von der Wahl der $M_s$ und der Kompositionsreihe von $\overline{M}_s$ sind, sie heißen Zerlegungszahlen (siehe z.B.[Fei82, Theorem I,17.7(Brauer), Seite 66]).