Brauercharaktere

Sei $(K,R,F)$ ein $p$-modulares System und $G$ eine endliche Gruppe. Mit $o(g)\glossary{$o(g)$>$!=!\vert\protect\langle g\protect\rangle!\vert$, Ordnung von $g$}$ bezeichne die Ordnung von $g\in G$. Weiterhin sei $G_{p'}\glossary{$G_{p'}$>$p'$-Elemente von $G$} = \{g\in G\mid p\nmid o(g)\}$ die Menge der $p'$-Elemente von $G$.

Sei $V$ ein $RG$-Modul und $g\in G$ ein $p'$-Element. Da $p\nmid o(g)$ existiert ein bis auf Isomorphie eindeutiger $R$-freier $R\langle g\rangle$-Modul $W_g$, so daß $\overline{W}_g \cong \overline{V}_{\langle g\rangle}$ als $F\langle g\rangle$-Moduln (siehe z.B.[Fei82, Lemma III,3.3, Seite 104]).

1.1.5 Definition (Siehe z.B.[Fei82, IV.2, Seite 142])   Sei $V$ ein $RG$-Modul. Für jedes $g\in G$ sei $W_g$ der $R$-freie $R\langle g\rangle$-Modul, so daß $\overline{W}_g \cong \overline{V}_{\langle g\rangle}$ und $\theta_g$ sei der Charakter von $W_g$. Der Brauercharakter $\beta_V$ ist definiert durch

$$\beta_V\glossary{$\beta_V$>Brauercharakter} : G_{p'} \to R : g \mapsto \theta_g(g).$$

Sei $V$ ein $R$-freier $RG$-Modul mit $\operatorname{Rang}_R(V) = n$, sei $g\in G_{p'}$ mit Ordnung $o(g) = m$. Falls eine primitive $m$-te Einheitswurzel $\xi_m\glossary{$\xi_m$>primitive $m$-te Einheitswurzel} \in R$ existiert, so ist $\beta_V(g) = \operatorname{Trace}_V(g)\glossary{$\operatorname{Trace}_V(g)$>Spur} = \xi_m^{a_1} + \cdots + \xi_m^{a_n}\in R$, mit $a_1,\dots,a_n\in{\protect \mathbb{N}}_0$. D.h. $\beta_V(g)$ ist Summe von $m$-ten Einheitswurzeln (siehe z.B.[CR62, Seite 588f]).

Sei $m$ das kleinste gemeinsame Vielfache der Ordnungen aller $p'$-Elemente von $G$ und $\xi_m$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel. Sei $K = {\protect \mathbb{Q}}(\xi_m)$ und $R = {\protect \mathbb{Z}}[\xi_m]$ die Menge der ganzen algebraischen Zahlen von $K$. Weiterhin sei $P$ ein fest gewähltes Primideal in $R$, so daß $pR \lhd P\lhd R$. Dann ist $R/P = F$ eine endliche Körpererweiterung von ${\protect \mathbb{F}}_p$. Seien $\widetilde{K}$ und $\widetilde{R}$ die Vervollständigungen von $K$ bzw.$R$ bezüglich $\vert\cdot\vert _P$ nach Bemerkung 1.1.4. Dann ist $(\widetilde{K}, \widetilde{R}, F)$ ein $p$-modulares System.

1.1.6 Lemma   Sei $(K,R,F)$ ein $p$-modulares System und $G$ eine endliche Gruppe. $P\lhd R$ sei das maximale Ideal in $R$. $m$ sei das kleinste gemeinsame Vielfache der Elementordnungen aller $p'$-Elementen in $G$ und es sei $\xi_m\in R$ eine primitive $m$-te Einheitswurzel. Dann ist die Abbildung

$$\lambda: \{\xi_m^i\in R \mid i=1,\dots,m\} \to \{\xi_m^i + P \in F \mid i=1,\dots,m\}: \xi_m^i \mapsto \xi_m^i + P = \bar{\xi}_m^i$$ (1.2)

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis:Siehe z.B.[CR62, Seite 588]. Der Isomorphismus aus (1.2) kann auf verschiedene Arten realisiert werden, da das maximale Ideal $P$ nicht eindeutig bestimmt ist. Ist $K$ eine algebraische Erweiterung von ${\protect \mathbb{Q}}$, so ist $P\tau$ ein maximales Ideal für alle $\tau\in\operatorname{Gal}(K/{\protect \mathbb{Q}})$ und es gilt $R/P\tau \cong R/P \cong F$.

Sei $K$ ein beliebiger Körper, $L\geq K$ ein Erweiterungskörper, $A$ eine $K$-Algebra und $V$ ein $A$-Modul. Dann ist $V_L = V\otimes_K L$ ein $A_L$-Modul. Ist $V$ ein irreduzibler $A$-Modul und $V_L$ irreduzibler $A_L$-Modul für jede endliche Körpererweiterung $L\geq K$, so heißt $V$ absolut irreduzibel. Sei $V$ ein $A$-Modul, dann heißt eine Körpererweiterung $L\geq K$ Zerfällungskörper von $V$, wenn jeder einfache Konstituent von $V_L$ absolut irreduzibel ist. Ist $L\geq K$ ein Zerfällungskörper von $KG$ für die endliche Gruppe $G$, so heißt $L$ auch ein Zerfällungskörper von $G$.

1.1.7 Satz   Sei $G$ eine endliche Gruppe. Es existiert eine algebraische Körpererweiterung $K \geq {\protect \mathbb{Q}}$, die Zerfällungskörper von $G$ ist.

Beweis:Siehe z.B.[CR62, Theorem (29.16), Seite 203f].

1.1.8 Satz   Sei $K$ ein Zerfällungskörper für die endliche Gruppe $G$ und $(K,R,F)$ ein $p$-modulares System. Dann ist auch $F$ ein Zerfällungskörper für $G$.

Beweis:Siehe z.B.[CR62, Seite 592, Corollary (83.7)].