Inhalt

• Inhalt
• Einleitung
  • Grundlegende Definitionen und Bemerkungen
  • Die Brauerbäume
  • Rekonstruktionen der Brauerbäume
• Kondensieren
  • Grundlagen
  • Kondensieren
    • Kondensieren eines Permutationsmodul
    • Induzierte Moduln
  • Spuren im Schnee
    • Spuren
    • Schnee
• Ergebnisse
  • Primzahl 11, Block 1
    • Der Brauerbaum
    • Kondensation
    • Änderungen bei den Repräsentanten der Konjugiertenklassen
    • Rekonstruktion des Brauerbaums
    • Restlicher Beweis zur Rekonstruktion des Brauerbaums
  • Primzahl 11, Block 2
    • Der Brauerbaum
    • Kondensation
    • Zur Rekonstruktion des Brauerbaums
  • Primzahl 19, Block 1
    • Der Brauerbaum
    • Kondensation
    • Rekonstruktion des Brauerbaums
    • Restlicher Beweis zur Rekonstruktion des Brauerbaums
  • Primzahl 19, Block 2
    • Der Brauerbaum
    • Kondensation
    • Zur Rekonstruktion des Brauerbaums
  • Primzahl 31, Block 1
    • Der Brauerbaum
    • Kondensation
  • Primzahl 31, Block 2
    • Der Brauerbaum
    • Kondensation
• Konstruktionen
  • Die sechste maximale Untergruppe von .
  • $L_2(31) \leq 3.ON$
  • $4^3.L_3(2) \leq 3.ON$
  • Der Permutationsmodul
  • Permutationsdarstellung von auf 368820 Punkten
  • 495-dimensionale Darstellung von über
  • 1869-dimensionale Darstellung von über
  • 56-Dimensionaler Modul von
• Abbildungsverzeichnis
• Tabellenverzeichnis
• Index
• Literatur

Zusammenfassung:

In [HL89] werden die Brauerbäume der sporadisch einfachen Gruppen konstruiert. Bei der Konstruktion der Brauerbäume der Rudvalis-Gruppe $Ru$ und der dreifachen Überlagerung der O'Nan-Gruppe $3.ON$ (und einigen anderen sporadisch einfachen Gruppen) sind dabei noch ein paar Positionen von Knoten algebraisch konjugierter Charaktere offen geblieben. In [Röh00] werden die offenen Fragen der Rudvalis-Gruppe beantwortet. In dieser Diplomarbeit berechne ich die in obiger Arbeit unbestimmt gebliebenen Knoten an den Brauerbäumen von $3.ON$ in den Charakteristiken 11, 19 und 31 mit Mitteln der Fixpunktkondensation.

Sei $(K,R,F)$ ein $p$-modulares System mit $p\in\{11,19,31\}$ und $G\in\{ON,3.ON\}$. Im allgemeinen ist es (z.Zt.) nicht handhabbar $FG$-Moduln $V$ zu konstruieren, da ihre Dimension zu groß ist, um mit ihnen auf heutigen Rechnern zu arbeiten. Der (mit Abstand) kleinste nichttriviale einfache $FG$-Modul ist der 1869-dimensionale Modul über $GF(31)$ für $G=ON$. Dieser Modul wird in Abschnitt 4.7 konstruiert. Eine Matrix in der zugehörigen Darstellung im MeatAxe-Format braucht 3,4 MB Speicher. Eine Multiplikation zweier dieser 1869-dimensionalen Matrizen dauert auf helios (einem Pentium II 400MHz PC am Lehrstuhl D für Mathematik) über 2:29 Minuten.

Eine Möglichkeit, etwas über den $FG$-Modul $V$ zu sagen, ohne ihn explizit zu konstruieren, bietet die Kondensation. Unter Kondensation versteht man die Bestimmung der Operation eines Elementes $ege$ auf dem kondensierten $eFGe$-Modul $Ve$ aus der Operation des Elementes $g\in G$ und einem geeigneten Idempotent $e^2=e\in FG$ auf dem $FG$-Modul $V$. Wenn die Dimension des $eFGe$-Moduls $Ve$ ,,klein genug`` ist, ist es möglich, $Ve$ explizit zu konstruieren und von Eigenschaften des $eFGe$-Moduls $Ve$ auf Eigenschaften von $V$ zu schließen.

Ist $H\leq G$ eine Untergruppe mit $\vert H\vert\not=0$ in $F$, so ist $e = \vert H\vert^{-1}\sum_{h\in H}h$ ein Idempotent in $FG$. Nun werden geeignete $FG$-Moduln $V$ unter Verwendung der C-MeatAxe von M. Ringe (siehe [Rin94]) kondensiert, $eFGe$-Modul $Ve$ wird explizit konstruiert. Dann ist

$$Ve\glossary{$Ve$>kondensierter Modul} = \operatorname{Fix}_H(V)\glossary{$\operatorname{Fix}_H(V)$>Fixpunktmenge} = \{v\in V\mid vh=v$$, für alle $$h\in H\}$$

die Menge der Fixpunkte von $V$ unter der Operation von $H\leq G$. Daher kommt auch der Name Fixpunktkondensation.

Durch die Unbestimmtheiten auf den Brauerbäumen erhält man durch explizite Fallunterscheidung eine Menge von Brauerbaum-Kandidaten. Jeder Kandidat liefert eine Menge von Kandidaten irreduzibler Brauercharaktere. Mit

$$\operatorname{Trace}_{Ve}(ege) = \vert H\vert^{-1} \sum_{h \in H} \operatorname{Trace}_V(gh)$$ (1)

kann die Spur eines kondensierten Elementes $ege$, das mit der MeatAxe berechnet wird, mit den in GAP berechneten Spuren der verschiedenen irreduziblen Brauercharakter-Kandidaten verglichen werden. Ist $g\in G$ geeignet gewählt, so stimmen die Spuren nur für einen Brauerbaum-Kandidaten mit der real existierenden Spur des kondensierten Elementes überein. Dadurch werden die nicht übereinstimmenden Kandidaten ausgeschlossen und der übrig bleibende Kandidat ist ,,der`` Brauerbaum.

Bis auf die oben erwähnten unbestimmten Knoten werden in [HL89] die Brauerbaum-Kandidaten mit Hilfe einer Menge von projektiven Charakteren bestimmt und, wenn dies nicht zu einem eindeutigen Kandidaten führt, werden einige Brauerbaum-Kandidaten mit Argumenten der Green-Korrespondenz ausgeschlossen. Ich zeige hier an einigen Beispielen, daß bei der von mir durchgeführten Kondensation einige dieser Brauerbaum-Kandidaten unabhängig von der Green-Korrespondenz ausgeschlossen werden können.

In Kapitel 1 werde ich eine kurze Einführung in die modulare Darstellungstheorie geben und erläutern, was es heißt, ein Brauerbaum zu sein. In Kapitel 2 werde ich die theoretischen und praktischen Verfahren für die oben beschriebene Methode angeben, die ich für den Beweis benutzt habe. Dazu gehört die Kondensation von Permutationsmoduln, die in [Rin94] implementiert und beschrieben ist, und die Kondensation von induzierten Moduln, die in [MR99] beschrieben ist. In Kapitel 3 beschreibe ich die Ergebnisse der Berechnungen für die Brauerbäume der einzelnen Blöcke von $ON$, bzw.$3.ON$ in den Charakteristiken 11, 19 und 31. In Kapitel 4 konstruiere ich verschiedene Untergruppen von $ON$, bzw.$3.ON$ und verschiedene Moduln, die in Kapitel 3 benötigt werden.

Die meisten Tabellen und die Brauerbäume, die in dieser Arbeit erscheinen, wurden direkt aus den Daten und Rechnungsergebnissen von GAP und der MeatAxe mit einigen Zeilen GAP-Code nach L^ATEX exportiert.

Das Thema dieser Arbeit verdanke ich Herrn Prof. Pahlings und Herrn Prof. Hiß. Ihnen beiden danke ich für ihre hilfsbereite Betreuung. Desweiteren bedanke ich mich bei allen Mitarbeitern des Lehrstuhls für die angenehme Arbeitsatmosphäre. Mein besonderer Dank gilt auch Dr. Jürgen Müller, der immer Zeit fand, auf meine Fragen einzugehen. Durch Gespräche mit ihm habe ich viele Anregungen erhalten, die mir beim Gelingen der Diplomarbeit geholfen haben. Ihm verdanke ich auch die Konstruktion der sechsten maximalen Untergruppe von $ON$.