Grundlagen

Sei $A$ eine Algebra und $e\in A$ ein Idempotent. Ist $V$ ein $A$-Modul, so ist $Ve\glossary{$Ve$>kondensierter Modul} = \{ve\mid v\in V\}$ ein $eAe$-Modul. $Ve$ wird kondensierter Modul genannt.

2.1.1 Lemma   Sei $A$ eine Algebra, $V$ ein $A$-Modul und $e\in A$ ein Idempotent.

1.

Sei $W$ ein $A$-Teilmodul von $V$. Dann ist $We$ ein $eAe$-Teilmodul von $Ve$ und es gilt $(V/W)e \cong Ve/We$ als $eAe$-Moduln. Sei umgekehrt $\widetilde{W}$ ein $eAe$-Teilmodul von $Ve$, so ist $W:=\widetilde{W}\cdot A$ ein $A$-Teilmodul von $V$, so daß $We = \widetilde{W}$.

2.

Ist $S$ ein irreduzibler $A$-Modul, so ist entweder $Se=\{0\}$ (dann sagt man, daß $S$ zu Null kondensiert), oder $Se$ ist ein irreduzibler $eAe$-Modul.

Beweis:[Gre80].

Dieses Lemma besagt, daß ein Modulverbandsisomorphismus zwischen dem Modulverband des $A$-Moduls $V$ bis auf Konstituenten von $V$, die zu Null kondensieren, und dem Modulverband des $eAe$-Moduls $Ve$ existiert. Dadurch ist es möglich, von Eigenschaften des kondensierten Moduls $Ve$ auf Eigenschaften von $V$ zu schließen.

Sei $F$ ein endlicher Körper, $G$ eine endliche Gruppe und $H\leq G$ mit $\operatorname{char}(F)\nmid \vert H\vert$. Dann ist

$$e := e_H\glossary{$e_H$>$!= !\vert H!\vert^{-1} \protect\sum_{h\i... ...h$, Idempotent f\uml {u}r $H\leq G$} := \vert H\vert^{-1} \cdot \sum_{h\in H} h$$ (2.1)

das zentrale Idempotent der Gruppenalgebra $FH$, das zum trivialen $FH$-Modul gehört. Also ist $e_H \cdot FG \cong (1_H)^G$, wobei $(1_H)^G$ der Permutationsmodul ist, der durch die Operation von $G$ auf den Nebenklassen von $H$ induziert wird.

Sei $V$ ein $FG$-Modul. Dann ist der kondensierte $eFGe$-Modul $Ve$ die Menge der Fixpunkte von $V$ unter der Operation von $H$ und $H$ heißt Kondensationsgruppe. Damit gilt (siehe auch [Fei82, Lemma I,8.2, Seite 23f])

$$Ve \cong \operatorname{Hom}_{FG}((1_H)^G, V) \cong \operatorname{Hom}_{FH}(1_H,V_H).$$

Sei $\psi$ der Brauercharakter von $V$ und $\operatorname{IBr}(G) = \{\varphi_1, \dots, \varphi_l\}$, wobei $\varphi_i$ zum irreduziblen $FG$-Modul $L_i$ gehört. Dann gilt

$$\dim_F(Ve_{H}) = \sum_{i=1}^l d_{V,L_i} \dim_F(L_ie_{H}) = \sum_{i=1}^l d_{\psi,\varphi_i} (1_{H},\varphi_i\vert _H)_H,$$ (2.2)

wobei $d_{V,L_i} = d_{\psi,\varphi_i}$ die Vielfachheit von $L_i$ in einer Kompositionsreihe von $V$ ist. Ist $(K,R,F)$ ein $p$-modulares System und $W$ ein $R$-freier $RG$-Modul, so daß $W_K$ isomorph zu einem irreduziblen gewöhnlichen $KG$-Modul $X$ (mit zugehörigem Charakter $\chi$) ist, so sind $d_{\overline{W},L_i} = d_{X,L_i} = d_{\chi,\varphi_i}$ die Zerlegungszahlen.

Ist $\{a_1,a_2,a_3,\dots\}$ eine Menge von $F$-Algebrenerzeugern der Algebra $FG$, so heißt die Teilalgebra ${\protect\mathcal{C}}\glossary{${\protect\mathcal{C}}$>Kondensationsalgebra}$ von $eFGe$, die von der Menge $\{ea_1e,ea_2e,ea_3e,\dots\}$ als $F$-Algebra erzeugt wird, Kondensationsalgebra. Die Kondensationsalgebra ${\protect\mathcal{C}}$ ist nicht notwendigerweise gleich der Algebra $eFGe$, sie kann eine echte Teilmenge sein. Dieses Problem wird auch Erzeugendenproblem genannt. Die benutzten Verfahren berechnen nur die explizite Operation von ${\protect\mathcal{C}}$ auf dem kondensierten Modul. Dies reicht aber für die Beweise in dieser Arbeit aus.

Sei $A$ eine Algebra und $V$, $W$ zwei $A$-Moduln. Dann schreibe $V\protect\leftrightarrow_A W\glossary{$V\protect\leftrightarrow_A W$>Gleichheit der Kompositionsfaktoren}$, falls $V$ und $W$ die gleichen Kompositionsfaktoren (mit entsprechend gleichen Vielfachheiten) haben.

2.1.2 Bemerkung
Sei $Ve$ ein kondensierter $eFGe$-Modul und

$${\protect\mathcal{C}}= \langle e a_1 e, e a_2 e, e a_3 e,\dots\rangle_{F\text{-Algebra}} \leq eFGe$$

Kondensationsalgebra. Dann ist $Ve\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ ein ${\protect\mathcal{C}}$-Modul. Sei nun $Ve \leftrightarrow_{eFGe} S_1 \oplus \cdots \oplus S_k$, wobei $S_1,\dots,S_k$ einfache $eFGe$-Moduln sind, und $Ve\vert _{{\protect\mathcal{C}}} \leftrightarrow_{{\protect\mathcal{C}}} S_1' \oplus\cdots\oplus S_l'$, wobei $S_1',\dots,S_l'$ einfache ${\protect\mathcal{C}}$-Moduln sind. Dann gilt:

1.

$l\geq k$.

2.

Es gibt eine Partition $\pi = \{I_1,\dots,I_k\}$ von $\{1,\dots,l\}$, so daß $S_i\vert _{{\protect\mathcal{C}}} \leftrightarrow_{{\protect\mathcal{C}} } \bigoplus_{j\in I_i} S_j'$. Insbesondere gilt dann $\dim_F(S_i) = \sum_{j\in I_i} \dim_F(S_j')$.

3.

Ist $l=k$, so ist (evtl.nach Umnumerierung) $\dim_F(S_i) = \dim_F(S_i')$ für alle $1\leq i \leq l$.

Die Beweise der Brauerbäume in Kapitel 3 basieren auf der folgenden Aussage:

2.1.3 Lemma   Sei $H\leq G$, $F$ beliebiger Körper mit $\operatorname{char}(F)\nmid \vert H\vert$ und $e:=e_H = \frac 1{\vert H\vert}\sum_{h\in H}h$ und $g\in G$. Dann gilt

$$\operatorname{Trace}_{Ve}(ege)=\vert H\vert^{-1} \sum_{h \in H} \operatorname{Trace}_V(gh).$$ (2.3)

Beweis:Eine Basis für $Ve$ kann zu einer Basis von $V$ erweitert werden. Da $veege = vege\in Ve$ für alle $v\in V$, ist somit klar, daß

$$\operatorname{Trace}_{Ve}(ege) = \operatorname{Trace}_{Ve}(ge) = ... ...{Trace}_V(ge) = \frac1{\vert H\vert} \sum_{h\in H} \operatorname{Trace}_V(gh).$$

Nach diesem Lemma kann die Spur eines Elementes $ege\in eFGe$ in der zu $Ve$ gehörigen Darstellung mit der Summe der Spuren der Elemente $gh\in G$ verglichen werden. In den folgenden Abschnitten wird beschrieben, wie diese Spuren explizit berechnet werden.