Ergebnisse

In diesem Kapitel werden die Ergebnisse der Berechnungen dargestellt, dies sind die Brauerbäume von $G\in\{ON,3.ON\}$ in den Charakteristiken 11, 19 und 31. Die Ergebnisse basieren auf Rechnungen mit der C-MeatAxe (Version 2.3 und 2.4), angewendet auf verschiedene Darstellungen von $ON$ und $3.ON$. Die Darstellungen sind entweder aus [WWT$^$] entnommen, oder aus einer solchen Darstellung konstruiert worden. Diese Konstruktionen werden in Kapitel 4 beschrieben. Die Berechnungen mit den Brauercharakter-Kandidaten wurden mit GAP (Version 3.4.5) durchgeführt. Dabei wurden die Charaktertafeln von $ON$, bzw.$3.ON$ (und von einigen ihrer maximalen Untergruppen) aus der GAP-Bibliothek verwendet. Die Brauerbäume und die Numerierung der Knoten sind aus [HL89] entnommen. Die Nummern an den Knoten entsprechen jeweils den eingeschränkten gewöhnlichen Charakteren $\hat{\chi}_i$ und die Nummern an den Kanten entsprechen den Brauercharakteren $\varphi_j$ des entsprechenden Blocks. Die Nummern der Knoten und Kanten sind nach aufsteigendem Charaktergrad (bzw. Brauercharaktergrad) der entsprechenden Charaktere (bzw. Brauercharaktere) sortiert.

In jedem Abschnitt wird beschrieben, welche $FG$-Moduln kondensiert werden und welche Kondensationsgruppe $H\leq G$ zur Kondensation benutzt wird. Für die gewählte Kondensationsgruppe $H$ ist jeweils $e = e_H = \vert H\vert^{-1}\sum_{h\in H}h$. Ein Erzeugendensystem für die Kondensationsalgebra ${\protect\mathcal{C}}$ ist jeweils so groß gewählt, daß die Dimensionen und Vielfachheiten der ${\protect\mathcal{C}}$-Konstituenten eines kondensierten ${\protect\mathcal{C}}$-Moduls $Ve\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ mit denen der $eFGe$-Konstituenten von $Ve$ übereinstimmt. Die letzteren Werte werden durch die Brauercharakter-Kandidaten eines Brauerbaum-Kandidaten nach (2.2) bestimmt, die Werte für die ${\protect\mathcal{C}}$-Konstituenten werden durch das MeatAxe-Programm chop berechnet. Für die Beweise werden jeweils für die Charakteristiken $p\in\{11,19,31\}$ die Elemente $g_{28},g_{31}\in ON$ nach (2.9) bzw. (2.8) für den ersten Block und das Element $\tilde{g}_{31}\in 3.ON$ nach (2.10) für den zweiten Block benutzt. Mit $a$, $b$ bezeichne Standarderzeuger von $ON$ und mit $A$, $B$ bezeichne Standarderzeuger von $3.ON$.

In den Tabellen sind die Zerlegungszahlen für die untersuchten Moduln und die Dimensionen der kondensierten einfachen Moduln jeweils für den entsprechenden Block aufgeführt. Die Zerlegungszahlen und die Dimensionen werden nach (2.2) für die Brauercharakter-Kandidaten mit dem GAP-Befehl Decomposition() bzw.MatScalarProducts() berechnet. Dabei sind die Skalarprodukte mit den Charakteren aus den anderen Blöcken nicht notwendig Null und tragen somit auch noch zur Dimension des gesamten kondensierten Moduls bei. Es ist aber übersichtlicher, jeweils nur den betrachteten Block abzubilden.

Der zweite Block ist in den Charakteristiken 11, 19 und 31 komplex konjugiert zum dritten Block. Also reicht es, jeweils den zweiten Block zu untersuchen.

In den Abschnitten 3.1.5, 3.3.4 und 3.4.3 wird gezeigt, daß die Brauerbaum-Kandidaten, die in [HL89] mit Hilfe der Green-Korrespondenz ausgeschlossen wurden, unabhängig von der Green-Korrespondenz einen Widerspruch liefern. Diese Ergebnisse sind bei der Kondensation zusätzlich abgefallen.