Ergebnisse der Konjugiertheitstests in $ON$

Mit obigen Überlegungen gibt es genügend Unterscheidungsmöglichkeiten, um die Elemente $gh$ für ein festes $g\in ON$ und $h\in H\leq G$ auf Klassenzugehörigkeit zu testen. Für den ersten Block von $ON$ habe ich die Kondensationsuntergruppe $H=3^4:2^{1+4}D_{10}$ in allen drei Charakteristiken $p\in\{11,19,31\}$ benutzt. Dies ist die sechste maximale Untergruppe von $ON$ und sie hat 25$\,$920 Elemente. Ein Durchlauf durch $H$ mit dem Bahnenalgorithmus und Konjugiertheitstests der Elemente $gh$ für $h\in H$ mit $o(gh)\not= 15$ dauert auf castor (einem AMD-K6-2 300MHz PC am Lehrstuhl D für Mathematik) etwa sechs Stunden.

Für die Beweise in Kapitel 3 werden die Berechnungen für zwei verschiedene Elemente $g_{31}, g_{28}\in ON$ durchgeführt. Dazu definiere

$$g_{31}\glossary{$g_{31}$>$!= (ab)^3 b a b^2$\ Element der Ordnung 31 in $ON$} := (ab)^3 b a b^2, o(g_{31}) = 31),$$ (2.8)

$$g_{28}\glossary{$g_{28}$>$!= (ab)^2 b^2 (ab)^3 b$\ Element der Ordnung 28 in $ON$} := (ab)^2 b^2 (ab)^3 b, o(g_{28}) = 28),$$ (2.9)

wobei $a$ und $b$ Standarderzeuger von $ON$ sind. In der Tabelle 2.3 sind die Werte der Nebenklassenverteilung $\vert Cl_j\cap g_{28}H\vert$ bzw. $\vert Cl_j\cap g_{31}H\vert$ angegeben.

Tabelle 2.3: Nebenklassenverteilung in $ON$.

Klasse	Repräsentant	$\vert Cl_j\cap g_{31}H\vert$	$\vert Cl_j\cap g_{28}H\vert$
1A		0	0
2A	$((ab)^2b)^{30}$	1	0
3A		3	8
4A	$((ab)^2b)^{15}$	0	0
4B	$(d^2cd^3cdc)^{36}$	121	92
5A	$((ab)^2b)^{12}$	138	143
6A		348	337
7A		38	19
7B	$(ab)^3bab^2(k_1^2k_2)^{11}(k_1^2k_3)(k_1^2k_2)^4k_1$	520	548
8A	$(d^2cd^3cdc)^{18}$	848	821
8B	$(ab)^2b^2(ab)^3b (k_1^2k_2)^{10}k_1$	830	779
10A	$((ab)^2b)^6$	1298	1327
11A	$(ab)^3$	2338	2336
12A		735	735
14A		1027	991
15A	$(ab)^3bab^2(k_1^2k_2)^7$	584	543
15B	$(ab)^3bab^2(k_1^2k_2)^7k_1^2$	598	548
16A	$(d^2cd^3cdc)^9$	1565	1644
16B	$(d^2cd^3cdc)^3$	1516	1635
16C	$(ab)^2b^2(ab)^3b (k_1^2k_2k_1)$	1607	1644
16D	$(ab)^2b^2(ab)^3b (k_1^2k_2)^6$	1654	1551
19A	$(ab)^3b$	1283	1375
19B	$((ab)^3b)^2$	1366	1367
19C	$((ab)^3b)^4$	1305	1342
20A	$((ab)^2b)^3$	1323	1260
20B	$((ab)^2b)^{-3}$	1323	1316
28A	$(ab)^2b^2(ab)^3b (k_1^2k_2)^{10}k_1^2$	967	871
28B	$(ab)^2b^2(ab)^3b$	948	974
31A	$(d^3c)^{-1}$	818	844
31B	$(ab)^2b^2(ab)^3b k_1$	818	844

Dazu definiere $c := (ab)^4b$ und $d := abc$ und $k_1$, $k_2$, $k_3$ seien die Erzeuger der Kondensationsuntergruppe $\langle k_1,k_2,k_3\rangle = H = 3^4:2^{1+4}D_{10}$ aus Abschnitt 4.1. (Für die Repräsentanten siehe auch Tabelle 2.1)