Die sechste maximale Untergruppe von $ON$.

Die sechste maximale Untergruppe von $ON$ ist $3^4:2^{1+4}_-D_{10}\index{Gruppe>$3^4:2^{1+4}_-D_{10}$}$. Nach [CCN$^$85, $ON$, Seite 132] ist

$$N_{ON}(\texttt{3A}^4) \cong 3^4:2^{1+4}_-D_{10}.$$

In [O'N96] wird die Existenz der Gruppe $ON$ untersucht. Dabei werden auch die Strukturen der maximalen Untergruppen betrachtet. Diese Untersuchungen helfen bei der Konstruktion der Untergruppe.

$ON$ ist eine relativ große Gruppe. Für explizite Berechnungen ist es besser, jeweils in einer geeigneten Untergruppe von $ON$ zu rechnen, da dann die Permutationsoperation auf eine geeignete Bahn der Untergruppe eingeschränkt werden kann. Dadurch werden die Rechnungen in GAP schneller. Nach [CCN$^$85, $ON$, Seite 132] ist

$$N_{ON}(\texttt{2A}) = C_{ON}(\texttt{2A}) \cong 4_2\cdot L_3(4):2_1\index{Gruppe>$4_2\cdot L_3(4):2_1$}.$$

Eine Untergruppe des Zentralisators eines Elementes der Ordnung zwei läßt sich mit der folgenden Bemerkung relativ leicht bestimmen.

4.1.1 Bemerkung
Sei $G$ eine endliche Gruppe und $x,y\in G$ seien Elemente der Ordnung 2. Sei $z:=x y$ mit $o(z)=n\in 2{\protect \mathbb{N}}$, d.h.$n = 2k$ für ein $k\in{\protect \mathbb{N}}$. Dann erzeugen $x$ und $y$ eine Diedergruppe der Ordnung $2n$ mit nichttrivialem Zentrum $1\lneqq Z(D_{2n}) \leq D_{2n}\leq G$. $c:=z^k=z^{n/2}$ liegt im Zentrum von $D_{2n}$ und damit gilt auch $c\in C_G(x)$.

Sei $x\in G$ ein Element der Ordnung zwei. Wählt man zufällig weitere Elemente der Ordnung zwei in $G$, so findet man nach obiger Bemerkung Elemente des Zentralisators von $x$ in $G$. Ist die Ordnung von $C_G(x)$ bekannt, so wird mit GAP getestet, ob die gefundenen Elemente bereits den ganzen Zentralisator erzeugen. Um ,,zufällig`` Elemente aus zwei Erzeugern zu bilden, werden folgende Wörter $\texttt{fr}(x,y,i)\glossary{$\texttt{fr}(x,y,i)$>Wort in $x$\ und $y$}$ in zwei Gruppenelementen $x,y\in G$ betrachtet:

$$\texttt{fr}(x,y,1) := x,$$

$$\texttt{fr}(x,y,2) := y,$$

$$\texttt{fr}(x,y,3) := xy,$$

$$\texttt{fr}(x,y,4) := (xy)^2y,$$

$$\texttt{fr}(x,y,5) := (xy)^3y,$$

$$\texttt{fr}(x,y,6) := (xy)^4y,$$

$$\texttt{fr}(x,y,7) := (xy)^2y(xy)^3y,$$

$$\texttt{fr}(x,y,8) := (xy)^5y,$$

$$\texttt{fr}(x,y,9) := (xy)^2y(xy)^3yxy^2,$$

$$\texttt{fr}(x,y,10) := xy(xy^2)^2(xy)^3y.$$

Für die folgenden Berechnungen seien Standarderzeuger $a$, $b$ von $ON$ aus [WWT$^$] als Permutationen auf 122$\,$760 Punkten gegeben. $a$ liegt in der Klasse 2A und $b$ liegt in der Klasse 4A. Die Ordnung von $ab$ ist 11.