Bestimme $N_{C_{ON}(a_1)}(R)$

Bestimme nun den vollen Normalisator $N_{C_{ON}(a_1)}(R) \cong 3^2:4.(Q_8\times 2)$.

Nach [CCN$^$85, $L_3(4)$, Seite 23] gilt

• $N_{L_3(4).2_1}(\texttt{3A}^2) = 3^2:Q_8\times 2$,
• $\vert 3^2:Q_8\vert=72$ und
• $L_3(4).2_1/(3^2:Q_8\times 2) = [C_{ON}(a_1):N_{C_{ON}(a_1)}(R)] = 280 = 2^3\cdot 5\cdot 7$.

Nach der obigen Konstruktion ist bekannt, daß $z_1^3\in \texttt{2B}\subset C_{ON}(a_1)$, für $z_1$ aus (4.5). Desweiteren ist bekannt, daß $R$ durch $(z_1^3)^{c_2^3}$ normalisiert wird. Durch Randomsuche in GAP findet man zwei weitere Elemente der Ordnung 4 bzw.8 in $C_{ON}(a_1)$, die $R$ normalisieren:

$$m_1 := (c_1 \cdot d_2 \cdot c_1 \cdot c_2)^2, o(n_1)=4,$$

$$m_2 := (d_2 \cdot c_1^2 \cdot d_2 \cdot c_2)^2, o(n_2)=8,$$

$$m_3 := (z_1^3)^{c_2^3}, m_3\in \texttt{2B}.$$

Mit GAP rechnet man nun nach, daß $\langle d_1,d_2,m_1,m_2,m_3\rangle = N_{C_{ON}(a_1)}(R) \cong 3^2:4(Q_8\times 2)$.

Das folgende Script berechnet m.1$= m_1$, m.2$= m_2$ und m.3$= m_3$ mit der MeatAxe: