Bestimme 3-Sylowgruppe $R'$ in $K\cong A_6$

In $K = \langle a_1,a_2\rangle\cong A_6$ findet man die folgenden Elemente der Ordnung 3:

$$z1 := (a_1 a_2)^2 a_2 (a_1 a_2)^3 a_2 a_1 a_2^2 = \texttt{fr}(a_1,a_2,9),$$

$$z2 := (a_1 a_2)^2 a_2 a_1 a_2^2 (a_1 a_2)^3 a_2 = \texttt{fr}(a_1,a_2,10).$$

Mit GAP kann man nachrechnen, daß $\langle z_1, z_2^{a_2^2}\rangle \cong 3^2$. Desweiteren sieht man, daß $a_1$ auf $\langle z_1, z_2^{a_2^2}\rangle$ durch Invertieren der Erzeuger operiert. Sei $d_1' := z_1$ und $d_2' := z_2^{a_2^2}$, so ist

$$R' := \langle d_1', d_2'\rangle \cong 3^2,$$

und $a_1$ normalisiert $R'$.