Bestimme eine Untergruppe des Normalisator von $R\times R'$ in $G$ von Ordnung 2$\,$592

Die Untergruppe $U := \langle m_1,m_2,m_3\rangle \leq N_{C_{ON}(a_1)}(R)$ hat die Ordnung 64. Nach [O'N96, Bemerkung nach Lemma 5.7, Seite 448] existiert in $U$ eine Untergruppe der Ordnung 32, die $R\times R'$ normalisiert.

$U$ hat 1992 Bahnen auf 122$\,$760 Punkten. Sei $\overline{U}$ die Operation von $U$ eingeschränkt auf eine Bahn der Länge 64. In GAP findet man sieben Normalteiler von Index zwei in $\overline{U}$. Bildet man die Urbilder dieser Normalteiler, so sieht man, daß nur eines dieser Urbilder $N$ die Gruppe $R\times R'$ normalisiert. In GAP kann man die Erzeuger des berechneten Normalteilers $N$ in die Erzeuger von $\overline{U}$ faktorisieren:

Damit folgt, daß für $n_1 := m_1$, $n_2 := m_2^2$, $n_3 := m_2\cdot m_3$

$$N := \langle n_1, n_2, n_3 \rangle$$

von Ordnung 32 die Gruppe $R\times R'$ normalisiert. Die Ordnung von $N\cdot R\cdot R'$ ist 2$\,$592.

Das Element $a_1\in K \cong A_6$ (von Ordnung 2) operiert auf $R'$ durch Invertieren der Erzeuger und auf $R$ operiert $a_1$ trivial. Zur Bestimmung von ,, $2^{1+4}_-D_{10}$`` wird eine zentrale Involution benötigt, Element der Ordnung zwei, das wie ,,$-1$`` auf $R\times R'$ operiert. Man sieht, daß das Element $\alpha := n_3^2\in N$ die gewünschte Eigenschaft hat. Man beachte, daß $\langle a_1\rangle \times \langle\alpha\rangle$ das Zentrum der Ordnung vier von $N$ ist.

Das folgende Script berechnet n.1$= n_1$, n.2$= n_2$, n.3$= n_3$ und alpha$= \alpha$ mit der MeatAxe: