Bestimme $R\times K \cong C_{ON}(R)$

Nun bestimme eine Untergruppe $3^2\cong R\leq C_{ON}(a_1)$, die von $K$ zentralisiert wird. Nach (4.2) gilt dann $C_{ON}(R) = R\times K$.

Nach [CCN$^$85, $L_3(4)$, Seite 23] gilt $\vert C_{L_3(4).2_1}(\texttt{2B})\vert = 72 = 3^2\cdot 2^3$ und $\vert L_3(4).2\vert = 3^2\cdot 2^7 \cdot 5 \cdot 7$, also folgt $3^2\leq C_{L_3(4).2_1}(\texttt{2B})$. Suche also ein 2B-Element in $L_3(4).2_1$ und suche im Zentralisator $C_{L_3(4).2_1}(\texttt{2B})$ Elemente der Ordnung 3.

$C_{ON}(a_1)$ hat neun Bahnen auf den Punkten $\{1,\dots,122\,760\}$. Sei $B$ die Bahn der Länge 120. Dann ist $C_{ON}(a_1)\vert _B \cong L_3(4).2_1$. Sei $\bar{~}:4_2.L_3(4).2_1\to L_3(4).2_1$ die Einschränkung auf die Bahn $B$. Dann gilt $o(\bar{c}_1) = o(\bar{c}_2) = 8$. Sei

$$z_1 := (c_1c_2)^2 c_2 = \texttt{fr}(c_1,c_2,4) \in C_{ON}(a_1).$$ (4.5)

Dann ist $o(z_1) = o(\bar{z}_1) = 6$. Nach [CCN$^$85, $L_3(4)$, Seite 23] ist bekannt, daß $\bar{z}_1^3$ in der Klasse 2B von $L_3(4).2_1$ liegt. Suche also in $C_{L_3(4).2_1}(\bar{z}_1^3)$ nach Elementen der Ordnung 3:

• Es ist klar, daß $\bar{z}_1\in C_{L_3(4).2_1}(\bar{z}_1^3)$ und es gilt $o(\bar{z}_1^2) = o(z_1^2) = 3$.
• Da $o(\bar{z}_1^3\cdot (\bar{c}_1)^4) = 8$, definiere $z_2 := (z_1^3\cdot (c_1)^4)^4 \in C_{ON}(a_1)$, so ist $\bar{z}_2 \in C_{L_3(4).2_1}(\bar{z}_1^3)$.
• Da $o(\bar{z}_1^3\cdot (\bar{c}_2)^4) = 8$, definiere $z_3 := (z_1^3\cdot (c_2)^4)^4\in C_{ON}(a_1)$, so ist $\bar{z}_3 \in C_{L_3(4).2_1}(\bar{z}_1^3)$.
• Es gilt $o(z_2\cdot z_3) = 3$.

Damit folgt $\langle z_1^2, z_2z_3\rangle \cong 3^2 \leq C_{ON}(a_1)$. Mit GAP kann man nachrechnen, daß $\langle z^2, z_2z_3\rangle^{c_2^3}$ die oben gefundene Gruppe $K = \langle a_1,a_2\rangle\cong A_6$ aus (4.4) zentralisiert. Definiere also

$$d_1 := (z_1^2)^{c_2^3} = (((c_1c_2)^2 c_2)^2)^{c_2^3},$$

$$d_2 := (z_2z_3)^{c_2^3} = ((((c_1c_2)^2 c_2)^3\cdot (c_1)^4)^4 (((c_1c_2)^2 c_2)^3\cdot (c_2)^4)^4)^{c_2^3},$$

so ist $R := \langle d_1,d_2\rangle \cong 3^2$ und es gilt nach Konstruktion

$$\langle d_1,d_2,a_1,a_2 \rangle = R \times K \cong 3^2 \times A_6.$$

Das folgende Script berechnet d.1$= d_1$ und d.2$= d_2$ mit der MeatAxe: