Bestimme $C_{ON}(a_1)$

Bestimme nun wie oben Erzeuger für $C_{ON}(a_1)$. Dazu betrachte die Standarderzeuger $a,b$ von $ON$ und das Element $c := (ab)^4b = \texttt{fr}(a,b,6)$ mit $o(c)=14$.

• Da $a_1\in C_{ON}(a)$, wird $a_1$ von $a$ zentralisiert.
• $o(b) =4$ und $o(a_1 b^2) = 12$, also ist $(a_1 b^2)^6\in C_{ON}(a_1)$.
• Da $o(a_1 c^7)=12$, ist auch $(a_1 c^7)^6 \in C_{ON}(a_1)$.

Seien

$$c_1 := a\cdot(a_1 b^2)^6 = a ((x_2^4)((x_1x_2)^3x_2)^{21}b^2)^6,$$

$$c_2 := a\cdot(a_1 c^7)^6 = a ((x_2^4)((x_1x_2)^3x_2)^{21}((ab)^4b)^7)^6,$$

dann folgt $\langle c_1, c_2 \rangle\leq C_G(a_1)$. In GAP läßt sich berechnen, daß $\vert\langle c_1, c_2\rangle\vert = \vert C_{ON}(a_1)\vert$. Also gilt

$$\langle c_1,c_2\rangle = C_{ON}(a_1).$$

Das folgende Script berechnet c.1$= c_1$ und c.2$= c_2$ mit der MeatAxe: