Rechnen in $C_{ON}(\alpha)$

Nach [CCN$^$85, $L_3(4)$, Seite 23] ist die größte maximale Untergruppe der $L_3(4)$ isomorph zu $2^4:A_5$ von Ordnung 960 und es gilt $N_{L_3(4)}(\texttt{2A}^4)\cong 2^4:A_5$.

$C_{ON}(\alpha)$ hat neun Bahnen auf den Punkten $1,\dots,122\,760$. Wird $\mathfrak{C} := C_{ON}(\alpha)$ auf die Bahn $B$ der Länge 120 eingeschränkt, so ist $\mathfrak{C}\vert _B \cong L_3(4).2_1$. Sei $\bar{~}:4_2.L_3(4).2_1\to L_3(4).2_1$ die Einschränkung auf die Bahn $B$. In GAP rechnet man nach, daß $N\vert _B =: \overline{N} \leq \overline{ \mathfrak{C}}$ eine nicht-abelsche Gruppe der Ordnung 16 ist und sieben Normalteiler der Ordnung 8 hat. Nur zwei davon sind elementar abelsch. Faktorisiert man in GAP die Erzeuger dieser beiden elementar abelschen Normalteiler in die Erzeuger von $\overline{N}$, so sieht man, daß dies die folgenden Untergruppen sind:

$$\overline{T}_1 := \langle \bar{n}_1^2,\; \bar{n}_1\cdot\bar{n}_2,\; \bar{n}_1\cdot\bar{n}_3\rangle \leq \overline{N},$$

$$\overline{T}_2 := \langle \bar{n}_3,\; \bar{n}_1^2\cdot\bar{n}_3,\; \bar{n}_1\cdot\bar{n}_2\rangle \leq \overline{N}.$$

In GAP kann man nachrechnen, daß

$$\vert C_{\overline{\mathfrak{C}}}(\overline{T}_1)\vert = \vert C_{\overline{\mathfrak{C}}}(\overline{T}_2)\vert = 16 = 2^4.$$

Die Normalisatoren dieser Zentralisatoren in $\overline{ \mathfrak{C}}\cong L_3(4).2_1$ haben Ordnung 960:

$$\overline{\mathfrak{N}}_1 := N_{\overline{\mathfrak{C}}} (C_{\ove... ...ert\overline{\mathfrak{N}_1}\vert = \vert\overline{\mathfrak{N}_2}\vert = 960.$$

Die Erzeuger von $\overline{ \mathfrak{N}}_1$ und $\overline{ \mathfrak{N}}_2$ können faktorisiert werden in die Erzeuger von $\overline{ \mathfrak{C}}$. Dann gilt:

$$\overline{\mathfrak{N}}_1 = \langle \bar{n}_1^2,\; \bar{n}_1 \bar{n}_2,\; \bar{n}_1 \bar{n}_3,\; \bar{x}_4 \bar{n}_3 \bar{n}_2 \bar{x}_4,\; \bar{n}_1,\;$$

$$\qquad \bar{n}_1 \bar{x}_4 \bar{n}_1^2 \bar{x}_4 \bar{n}_1 \bar{x... ...bar{x}_4 \bar{n}_3 \bar{x}_4 \bar{n}_1^2 \bar{x}_4 \bar{n}_3 \bar{x}_4 \rangle,$$

$$\overline{\mathfrak{N}}_1 = \langle \bar{n}_3,\; \bar{n}_1 \bar{n}_2,\; \bar{n}_1^2,\; \bar... ...1^2 \bar{x}_4 \bar{n}_3 \bar{x}_4 \bar{n}_3 \bar{n}_1 \bar{x}_4,\; \bar{n}_1,\;$$

$$\qquad \bar{n}_1 \bar{n}_2 \bar{x}_4 \bar{n}_2 \bar{x}_4 \bar{n}_... ... \bar{n}_1 \bar{x}_4 \bar{n}_1 \bar{n}_3 \bar{x}_4 \bar{n}_3 \bar{x}_4 \rangle.$$

Damit kann man jeweils für $i=1,2$ in das Urbild $\mathfrak{N}_i\subset \mathfrak{C} = C_{ON}(\alpha)$ von $\overline{ \mathfrak{N}}_i \subset \mathfrak{C}\vert _B \cong L_3(4).2_1$ übergehen. Die Urbilder haben Ordnung $3\,840$.

Für $i=1,2$ betrachte die Bahnen von $\mathfrak{N}_i$ auf den Punkten $1,\dots,122\,760$. Dort gibt es jeweils zwei Bahnen der Länge 80. $\mathfrak{N}_i$ eingeschränkt auf die eine Bahn der Länge 80 hat die Größe 960, eingeschränkt auf die andere Bahn der Länge 80 die Größe 1920. Sei $\mathfrak{B}_i$ für $i=1,2$ jeweils die Bahn der Länge 80, so daß ${ \mathfrak{N}_i}\vert _{ \mathfrak{B}_i}$ die Ordnung 1920 hat. Sei $\tilde{~}: \mathfrak{N}_i \to { \mathfrak{N}_i}\vert _{ \mathfrak{B}_i}$ die Einschränkung von $\mathfrak{N}_i$ auf die Bahn $\mathfrak{B}_i$ für $i=1,2$.

Mit GAP kann man nachrechnen, daß es in $\widetilde{ \mathfrak{N}}_i$ jeweils einen (nichttrivialen) Normalteiler der Ordnung 2 und 32 gibt. Betrachte nun das epimorphe Bild $\widehat{\widetilde{ \mathfrak{N}}}_i$ von $\widetilde{ \mathfrak{N}}_i$ nach dem Normalteiler $\widetilde{ \mathfrak{H}}_i$ der Ordnung 32. Dann gilt $\widehat{\widetilde{ \mathfrak{N}}}_i\cong \widetilde{ \mathfrak{N}}_i/\widetilde{ \mathfrak{H}}_i \cong A_5$ für $i=1,2$.

Für $i=1,2$ findet man in $\widehat{\widetilde{ \mathfrak{N}}}_i$ jeweils sechs verschiedene Untergruppen $\widehat{ \mathfrak{D}}_{i,j} \cong D_{10}$, $j=1,\dots,6$. Die Urbilder $\widetilde{ \mathfrak{D}}_{i,j} \leq\widetilde{ \mathfrak{N}}_i$ von $\widehat{ \mathfrak{D}}_{i,j}\leq \widehat{\widetilde{ \mathfrak{N}}}_i$ (für $i=1,2$ und $j=1,\dots,6$) haben jeweils Ordnung 320. In diesen Urbildern findet man jeweils drei Normalteiler $\widetilde{ \mathfrak{U}}_{i,j,k}\leq \widetilde{ \mathfrak{D}}_{i,j} \leq \widetilde{ \mathfrak{N}}_i$ von Index 2 ($i=1,2$, $j=1,\dots,6$ und $k=1,2,3$).

Genau eines der Urbilder $\mathfrak{U}_{i,j,k} \leq \mathfrak{N}_i$ von $\widetilde{ \mathfrak{U}}_{i,j,k}\leq \widetilde{ \mathfrak{N}}_i$ für $j=1,\dots,6$ und $k=1,2,3$ für $i=2$ normalisiert die vorher gefundene $R\times R'\cong 3^4$.

Seien $z_1,\dots,z_7$ die obigen Erzeuger von $\mathfrak{N}_2$. Eine Faktorisierung der Erzeuger des die Gruppe $R\times R'$ normalisierenden $\mathfrak{U}_{2,j,k}$ in die Erzeuger von $\mathfrak{N}_2$ ergibt, daß

$$\mathfrak{U}_{2,j,k} = \langle z_3,\; z_1^2 z_2 z_3 z_4,\; z_1^3 z_3,\; z_1 z_2 z_3,\; z_5,\; z_1 z_3 z_4 z_6 z_5 z_7,\; z_1^2 \rangle.$$

Mit GAP rechnet man nach, daß die Erzeuger 5 und 6 ausreichen. Zusammen mit $d_1$ wird nun $N_{ON}(\texttt{3A}^4) \cong 3^4:2^{1+4}_-D_{10}$ erzeugt. Definiere

$$k_1 := d_1, \quad k_2 := z_5, \quad k_3 := z_1 z_3 z_4 z_6 z_5 z_7.$$ (4.6)

Dann ist $\langle k_1,k_2,k_3\rangle \cong 3^4:2^{1+4}_-D_{10}\leq ON$.