$L_2(31) \leq 3.ON$

$L_2(31)\index{Gruppe>$L_2(31)$}$ ist eine Untergruppe von $ON$ mit 14$\,$880 Elementen. Da $L_2(31)$ einfach ist und Schurmultiplikator 2 hat (siehe z.B.[CCN$^$85]), ist das Urbild von $L_2(31)$ in $3.ON$ isomorph zu $3\times L_2(31)$.

Seien $a$ und $b$ Standarderzeuger von $ON$. Nach [WWT$^$] gilt dann

$$L_2(31) = \langle u_1 := (ab)^{-3} a (ab)^3, u_2 := (ababbb)^4 \rangle \leq ON,$$ (4.7)

Dabei ist $o(u_1) = 2$, $o(u_2)=3$ und $o(u_1 u_2) = 16$.

Seien $A$, $B$ Standarderzeuger von $3.ON$, so wird $3\times L_2(31)$ erzeugt von $U_1 := (AB)^{-3} A (AB)^3$ und $U_2 := (ABABBB)^4$, wobei $o(U_1 U_2) = 48$, also ist $z = (U_1 U_2)^{16}$ im Zentrum von $3.ON$. Mit GAP läßt sich nun nachrechnen, daß

$$L_2(31) = \langle U_1, (U_1 U_2)^3\rangle \leq 3\times L_2(31) \leq 3.ON.$$ (4.8)