$4^3.L_3(2) \leq 3.ON$

$4^3.L_3(2)\index{Gruppe>$4^3.L_3(2)$}$ ist neunte maximale Untergruppe von $ON$ und hat 10$\,$752 Elemente. Nach [WWT$^$] gilt

$$4^3.L_3(2) = \langle (ab)^{-4}a(ab)^4 =: u_1, (abb)^{-4}((ab)^4b(ab)^2b)^4(abb)^4 =: u_2\rangle \leq ON,$$ (4.9)

wobei $a$ und $b$ Standarderzeuger von $ON$ sind.

Definiere $\tilde{u}_1 := (AB)^{-4}A(AB)^4$, sowie $\tilde{u}_2 := (ABB)^{-4}((AB)^4B(AB)^2B)^4(ABB)^4$, wobei $A$, $B$ Standarderzeuger von $3.ON$ sind. Dann kann man schnell (mit GAP) nachrechnen, daß die Untergruppe

$$U := \langle \tilde{u}_1, \tilde{u}_2 \rangle \leq 3.ON$$

10$\,$752 Elemente hat. Da $U \leq 3\cdot4^3.L_3(2)\leq 3.ON$, folgt $U\cong 4^3.L_3(2)$.