Der Permutationsmodul $(1_{J_1})^{3.ON}$

$J_1\index{Gruppe>$J_1$}$ ist eine maximale Untergruppe von $ON$ mit Ordnung $\vert J_1\vert = 175\,560$ und Index $\vert ON/J_1\vert = 2\,624\,832$. Der Schurmultiplikator von $J_1$ ist 1. Daher ist das Urbild von $J_1$ in $3.ON$ isomorph zu $3\times J_1$.

In [JW94, Abschnitt 6.G] wird eine Konstruktion der Permutationsdarstellung $(1_{J_1})^{3.ON}\index{Modul>$(1_{J_1})^{3.ON}$}$ von $3.ON$ auf den Nebenklassen von $J_1$ wie folgt angegeben.

Seien $g_1$ und $g_2$ Standarderzeuger für $3.ON$. Dann ist

$$U := \langle h_1 := g_1, h_2 := (g_1g_2^2)^{-8}((g_1g_2)^4g_2(g_1g_2)^2g_2)^4(g_1g_2^2)^8\rangle \cong J_1.$$

Bezeichne mit $153a_4\index{Modul>$153a_4$}$ eine der beiden 153-dimensionalen Moduln von $3.ON$ über $GF(4)$. Wird $153a_4$ auf die Operation von $J_1$ eingeschränkt, so folgt mit dem MeatAxe-Programm chop

$$(153a_4)_{J_1} = 1 \oplus 76_1 \oplus 76_2.$$

Hieraus läßt sich einfach ein Fixvektor für $J_1$ bestimmen. Dazu berechnet man die Nullräume von $h_1-\operatorname{id}_{153}$, bzw. $h_2-\operatorname{id}_{153}$. Der Schnitt dieser beiden Nullräume ist eindimensional und liefert somit einen Fixvektor $v$

$$\langle v\rangle = \operatorname{Null}(h_1-\operatorname{id}_{153... ...e{Null}(h_2-\operatorname{id}_{153}) \subseteq \operatorname{Fix}_{U}(153a_4).$$

Durch Permutation von $v$ mit $g_1$ und $g_2$ erhält man eine Permutationsdarstellung von $3.ON$ auf den Nebenklassen von $J_1$, also auf $3\cdot 2\,624\,832 = 7\,874\,496$ Punkten (Um dies zu berechnen hat helios (ein Pentium II 400MHz PC am Lehrstuhl D für Mathematik) eine Stunde gerechnet und etwa 480MB Speicher benutzt).
$J_1$ ist der Einpunkt-Stabilisator der 1, d.h. $J_1 = \operatorname{Stab}_{3.ON}(1_{J_1\backslash 3.ON})$. Da $J_1\leq 3\times J_1\leq 3.ON$ gibt es ein Blocksystem $\mathcal{B} = \{B_1, \dots, B_n\}$ mit $3\times J_1 = \operatorname{Stab}_{3.ON}(B_1)$. Sei $1\in B_1$ und $z$ das zentrale Element der Ordnung 3, dann ist $B_1 = \{1, 1^z, 1^{z^2}\}$. Die Permutation der Blöcke liefert nun Permutationen von $3.ON$ auf den Restklassen nach $3\times J_1$ und damit eine Permutationsdarstellung von $ON$ auf den Restklassen nach $J_1$. =-38mm =17 $\parbox{0mm}{\hspace*{0.5em} \setlength{\unitlength}{1mm} \begin{pi... ...}} \put(24,27){\circle{1}} \put(25,27){\makebox(0,0)[l]{$ON$}} \end{picture}}$