Bestimme $C_{ON}(a)$

Nach [CCN$^$85, $ON$, Seite 132] ist bekannt daß die Ordnung von $C_{ON}(\texttt{2A})=161\,280$ ist.

Da $a\in\texttt{2A}$ ein Element der Ordnung zwei ist, kann die Bemerkung 4.1.1 zur Konstruktion des Zentralisators benutzt werden. Seien $z_1,z_2,z_3\in ON$ nach (4.1) als Worte in den Erzeugern $a$ und $b$ gegeben:

$$\begin{split}z_1 &:= (ab)^2b = \texttt{fr}(a,b,4) \quad\text{... ...3b = \texttt{fr}(a,b,10) \quad\text{mit }o(z_3)=12. \end{split}$$ (4.1)

Also folgt, daß $z_1' := (a\cdot z_1^{10})^8$, $z_2' := (a\cdot z_2^7)^8$ und $z_3' := (a\cdot z_3^6)^5$ im Zentralisator von $a$ liegen. Definiert man $x_1 := z_1'\cdot z_2'$ und $x_2:=z_1'\cdot z_3'$ (dann ist $o(x_1)=6$ und $o(x_2)=16$), so berechnet man in GAP, daß $\vert\langle x_1,x_2\rangle\vert \geq 161\,280 = \vert C_{ON}(a)\vert$. Also gilt

$$C_{ON}(a) = \langle x_1, x_2\rangle,$$

$$x_1 = (a ((ab)^2b)^{10})^8 (a((ab)^4b)^7)^8,$$

$$x_2 = (a ((ab)^2b)^{10})^8 (a(ab(abb)^2(ab)^3b)^6)^5.$$

Das folgende Script berechnet $\texttt{x.1} = x_1$ und $\texttt{x.2} = x_2$ mit der MeatAxe, dazu seien onp122760.1$=a$ und onp122760.2$=b$: