Bemerkung zu der expliziten Berechnung

Die kleinste Darstellung, mit der sich die Klassen 15A und 15B anhand einer Spur unterscheiden lassen, ist die 1869-dimensionalen Darstellung von $ON$ über $GF(31)$. Die Zuordnung eines Elementes zur Klasse 15A oder 15B ist dabei abhängig vom korrekten Brauerbaum von $ON$ modulo 31, der zu diesem Zeitpunkt noch nicht berechnet ist - dazu siehe Abschnitt 3.5. Hier reicht jedoch zunächst die eindeutige Zuordnung von $\vert Cl_j\cap gK\vert$ zum Repräsentanten $x_j\in Cl_j$, ohne zu entscheiden, ob der Repräsentant $x_j$ in der Klasse 15A oder 15B liegt.

Eine Multiplikation der 1869-dimensionalen Matrizen dauert auf helios (ein Pentium II 400MHz PC am Lehrstuhl D für Mathematik) etwa 2:29 Minuten. Für das Element $g = g_{31}$ aus (2.8) und die Kondensationsgruppe $H = 3^4:2^{1+4}_-D_{10}\index{Gruppe>$3^4:2^{1+4}_-D_{10}$}$, die in den Beweisen für die Brauerbäume des ersten Blocks von $ON$ verwendet wird, gibt es insgesamt 1182 Elemente $g\cdot h$ der Ordnung 15 mit $h\in H$. Diese Elemente können (nach dem Bahnenalgorithmus) mit 2199 Multiplikationen (die Anzahl der Multiplikationen wurde schon optimiert, indem häufiger auftauchende Teilworte zwischengespeichert werden) explizit berechnet werden. Dies würde (auf helios) etwa $4$ Tage dauern, außerdem wird viel Festplattenspeicher benötigt, da eine dieser Matrizen 3.4 MB groß ist. Daher soll die Rechnung mit diesen Darstellungen nur dann ausgeführt werden, wenn es keine schnellere Methode gibt. In GAP dauert der Konjugiertheitstest IsConjugate() zweier Elemente von $ON$, die in der Permutationsdarstellung auf 122$\,$760 Punkten gegeben sind, etwa 27 Minuten. Mit Magma dauert die gleiche Rechnung etwa 72 Sekunden - die gesamte Rechnung dauert damit also etwa einen Tag. Daher wird der hier benötigte Konjugiertheitstest mit Magma durchgeführt. Zu Magma siehe [Gro98].

Tabelle 2.2: Spuren verschiedener Darstellungen von $ON$

Klasse	$(1_{L_3(7):2})^{ON}(x)$	$45a_7(\tilde{x}) \in$	$45a_7(\tilde{x}^3)$	$154_3(x)$	$1869_{31}(x)$
4A	120
4B	8
7A	15
7B	1
8A	4
8B	0
15A					$(\zeta_{31})^{16}$
15B					$(\zeta_{31})^{14}$
16A	2	$\{(\zeta_7)^5, \zeta_7, (\zeta_7)^3\}$
16B	2	$\{(\zeta_7)^4, 1, (\zeta_7)^2\}$
16C	0	$\{(\zeta_7)^5, \zeta_7, (\zeta_7)^3\}$
16D	0	$\{(\zeta_7)^4, 1, (\zeta_7)^2\}$
19A			$(\zeta_7)^5$
19B			$\zeta_7$
19C			$1$
20A		$\{(\zeta_7)^2, (\zeta_7)^4, 1\}$
20B		$\{\zeta_7,(\zeta_7)^3,(\zeta_7)^5\}$
28A				$\zeta_3$
28B				$1$
31A		$\{\zeta_7,(\zeta_7)^3,(\zeta_7)^5\}$
31B		$\{(\zeta_7)^2, (\zeta_7)^4, 1\}$