Konjugiertheitstest in $ON$

2.3.2 Bemerkung
Es sei $\bar{}:3.ON\to ON:g\mapsto \bar{g}$ der kanonische Epimorphismus mit Kern $Z = Z(3.ON) = \langle z\rangle$. Seien $a,b$ Standarderzeuger von $ON$ und $A,B$ seien Standarderzeuger von $3.ON$ mit $\bar{A}=a$ und $\bar{B}=b$. Sei ein Element $x\in ON$ als Wort in den Standarderzeugern von $ON$ gegeben, d.h. $x = \prod_{i\in I}x_i$ mit $x_i\in\{a,b\}$ für eine endliche Indexmenge $I$. Dann definiere

$$\tilde{x} := \prod_{i\in I}\tilde{x}_i\in 3.ON,$$   wobei $\tilde{a}:= A$ und $\tilde{b} := B$.$$$$

$\tilde{x}$ ist ein Urbild von $x$ in $3.ON$ und es gilt $\bar{\tilde{x}} = x$.

Sei $g\in ON$. Dann ist die Aufgabe, eine Konjugiertenklasse $Cl_j$ zu finden, so daß $g\in Cl_j$. In $ON$ gibt es 30 Konjugiertenklassen. Desweiteren gilt $o(g) \in \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 14\}\cup\{4, 7, 8, 15, 16, 19, 20, 28, 31 \}$. Betrachte die folgenden Fälle:

• Sei $o(g) \in \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 12, 14\}$, dann ist die Zugehörigkeit von $g$ zu einem $Cl_j$ festgelegt, da es jeweils genau eine Konjugiertenklasse dieser Ordnung in $ON$ gibt.
• Sei $o(g) \in \{4, 7, 8, 15, 16, 19, 20, 28, 31 \}$, dann betrachte die folgenden Darstellungen von $ON$:
  • die Permutationsdarstellung $(1_{L_3(7):2})^{ON}\index{Modul>$(1_{L_3(7):2})^{ON}$}$ vom Grad 122$\,$760,
  • die 154-dimensionalen Darstellung aus [WWT$^$] von $ON$ über $GF(3)$,
  • die 1869-dimensionale Darstellung von $ON$ über $GF(31)$ (Die Konstruktion dieser Darstellung wird in Abschnitt 4.7 beschrieben) und
  • eine der beiden 45-dimensionalen Darstellungen von $3.ON$ zusammen mit der obigen Bemerkung. Beide Darstellung sind geeignet, man muß nur wissen, welche Darstellung man gewählt hat. Dazu vergleiche die Spur eines fest gewählten Repräsentanten (z.B.eines Repräsentanten einer 19er-Klasse) in der 45-dimensionalen Darstellung mit der bekannten Charaktertafel von $3.ON$ modulo 7.
  Dann kann das Element $g\in ON$ eindeutig einer Konjugiertenklasse durch Vergleich der Spuren zugeordnet werden (für Elemente der Ordnung 19 betrachte die dritte Potenzabbildung des Urbildes $\tilde{g}\in 3.ON$). In der Tabelle 2.2 sind die Spuren der verschiedenen Darstellungen angegeben. Dabei sind die Charaktere $\varphi$ mit ihrem Grad $\varphi(1) = n$ und der $p$-modularen Charakteristik als Index gekennzeichnet: $n_p$, z.B.$154_3$ steht für den 3-modularen Charakter von $ON$ von Grad $154$.