1869-dimensionale Darstellung von $ON$ über $GF(31)$

In Abschnitt 3.5.1 wurde schon bemerkt, daß die Kante 2 des Brauerbaums in Abbildung 3.9 zu einem Brauercharakter von Grad 1869 gehört. Diese Kante liegt zwischen den Knoten 2 und 4, die zu den gewöhnlichen Charakteren von Grad $10\,944$ bzw.$26\,752$ gehören.

Nach [CCN$^$85] ist bekannt, daß

$$(1_{L_3(7):2})^{ON} = 1 + 52\,668 + 10\,944 + 26\,752 + 32\,395,$$ (4.12)

wobei $32\,395$ ein Charakter von Defekt 0 ist. Also folgt

$$\begin{split}(1_{L_3(7):2})^{ON}\vert _{31'} &= \chi_1\vert _... ...hi_2 + \varphi_2 + \varphi_6 + 32\,395\vert _{31'}. \end{split}$$ (4.13)

Dies sieht man auch anhand der Zerlegungszahlen in Tabelle 4.2. Sei nun $V$ der Permutationsmodul $(1_{L_3(7):2})^{ON}$.

Tabelle 4.2: Zerlegungszahlen ($ON$, Primzahl 31, Block 1)

$d_{\psi,\varphi}$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$	$\varphi_{11}$	$\varphi_{12}$	$\varphi_{13}$	$\varphi_{14}$	$\varphi_{15}$
$(1_{L3(7).2})^{3.ON}\!\!\rule{0cm}{2.5ex}$	2	2	0	1	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0

Tabelle 4.3: Skalarprodukte ($ON$, Primzahl 31, Block 1)

$(\bullet,\bullet\vert _{H_1})_{H_1}\!$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$	$\varphi_{11}$	$\varphi_{12}$	$\varphi_{13}$	$\varphi_{14}$	$\varphi_{15}$
$1_{H_1}$	1	0	1	1	1	2	2	3	3	3	5	3	5	5	6
$(1_{H_2})^{H_1}$	1	0	3	1	1	4	4	5	7	7	9	7	9	11	12
$(1_{H_3})^{H_1}$	1	2	1	3	1	8	8	15	15	19	21	19	25	33	32

Tabelle 4.4: Dimensionen der kondensierten Moduln ($ON$, Primzahl 31, Block 1)

$\dim Ve$	$H_1$	$H_2$	$H_3$
$(1_{L3(7).2})^{ON}$	11	16	43

Als Kondensationsuntergruppen betrachte $H_1 = 3^4:2^{1+4}D_{10}$, die sechste maximale Untergruppe von $ON$, und die folgenden Untergruppen von $H_1$ von Index 2 und 5:

$$H_1 := 3^4:2^{1+4}_-D_{10},$$

$$H_2 := 3^4:2^{1+4}_-C_5$$

$$H_3 := 3^4:2^{1+4}_-C_2.$$

In GAP ist die Charaktertafel der sechsten maximalen Untergruppe $H_1$ von $ON$ bekannt. Daher sind die Einschränkungen $\varphi_i\vert _{H_1}$ und der Charakter $1_{H_1}$ bekannt. Für die anderen Untergruppen gilt:

$$(1_{H_2})^{H_1} = 1_{H_1} + 1_{H_1}^-,$$

$$(1_{H_3})^{H_1} = 1_{H_1} + 2_{H_1} + 2_{H_1}^-,$$

Somit können die Dimensionen der kondensierten einfachen $eFGe$-Moduln $Se_{H_i}$ durch das Skalarprodukt folgendermaßen berechnet werden:

$$\dim(Se_{H_i}) = (1_{H_i},\varphi_i\vert _{H_i})_{H_i} = ((1_{H_i})^{H_1},\varphi_i\vert _{H_1})_{H_1}.$$

Nach der Tabelle 4.3 folgt, daß $H_1$ und $H_2$ nicht als Kondensationsgruppe geeignet sind, da beim Kondensieren $\varphi_{2}$ verschwindet. Bei der Kondensation mit der Untergruppe $H_3 = 3^4:2^{1+4}_- C_2 \leq H_1 = 3^4:2^{1+4}_-D_{10}$ von Index 5 kondensiert $\varphi_{2}$ zu einem Modul der Dimension 2.

In Abschnitt 4.1 werden Erzeuger der sechsten maximalen Untergruppe $H_1$ von $ON$ konstruiert. Mit randomisierter Suche in GAP findet man drei Erzeuger von $H_3$.

Sei $H_1 = \langle k_1,k_2,k_3\rangle$, wobei die $k_i$ aus der Konstruktion 4.1 entstanden sind. Dann ist $H_3 = \langle k_1',k_2',k_3'\rangle$, mit

$$k_1' = k_2,$$

$$k_2' = ((k_3 k_2^2) k_1)^2 k_1,$$

$$k_3' = ((k_2 k_3)^3 k_3)^2.$$

Die benutzte Kondensationsalgebra ist ${\protect\mathcal{C}}= \langle eae, ebe, e(ab)^2ae\rangle$. Im kondensierten ${\protect\mathcal{C}}$-Modul $Ve\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ ist ein Teilmodul der Dimension 2. Durch Unkondensieren des ersten Vektors und den Spinning-Algorithmus erhält man den $FG$-Modul der Dimension 1869.

Tabelle 4.5: Dimensionen der kondensierten Moduln

$\dim V$	$\dim Ve$	Vielfachheit
1	1	2
1869	2	2
9075	3	1
24883	8	1
32395	11	1
52667	15	1