Der Brauerbaum

In Abbildung 3.9 ist der Brauerbaum von $3.ON$ zur Primzahl 31 im Block 1 dargestellt. In der Tabelle 3.35 sind die Nummern und Charaktergrade der entsprechenden gewöhnlichen Charaktere bzw.der Brauercharaktere des ersten Blocks angegeben.

Tabelle 3.35: Nummern der Charaktere an den Knoten und Kanten des Brauerbaums von $ON$, Primzahl 31, Block 1

Knoten-Nr.	CAS-Nr.		( $\hat{\chi}_i$)	Grad
1	1			1
2	2			10944
3	3			13376
3	4			13376
4	7			26752
5	11			52668
6	15			58653
7	20			143374
8	21			169290
9	22			169290
10	23			175616
11	24			175616
12	26			207360
13	27			207360
14	28			207360
15	29			234080
16	30			234080

Kanten-Nr.		($\varphi_i$)	Grad
1			1
2			1869
3			7050
4			9075
5			13376
6			24883
7			51603
8			52667
9			73061
10			96229
11			111131
12			122949
13			134299
14			162240
15			182477

Abbildung 3.9: Die Brauerbaum-Kandidaten von $ON$, Primzahl 31, Block 1

In [HL89] wurde schon bemerkt, daß der Brauercharakter zwischen Knoten 2 und 4, der zu der Kante 2 gehört den Grad 1869 hat und damit viel kleiner ist, als der kleinste Grad eines nichttrivialen gewöhnlichen irreduziblen Charakters. Die zu diesem Charakter gehörige Darstellung wird in Abschnitt 4.7 konstruiert.

Es gibt vier Bahnen algebraisch konjugierter Charaktere. Dies sind:

1.

$\{\hat{\chi}_{21},\hat{\chi}_{22}\}$ an den Knoten $\{b_1,b_2\} = \{8,9\}$. Diese Charaktere unterscheiden sich nur auf den 16er-Klassen $\{$16A, 16B, 16C, 16D$\}$ von $ON$.

2.

$\{\hat{\chi}_{23}, \hat{\chi}_{24}\}$ an den Knoten $\{c_1,c_2\} = \{10,11\}$. Diese Charaktere unterscheiden sich nur auf den 15er-Klassen $\{$15A, 15B$\}$ von $ON$.

3.

$\{\hat{\chi}_{26},\hat{\chi}_{17},\hat{\chi}_{28}\}$ an den Knoten $\{a_1,a_2,a_3\} = \{12,13,14\}$. Diese Charaktere unterscheiden sich nur auf den 19er-Klassen $\{$19A, 19B, 19C$\}$ von $ON$.

4.

$\{\hat{\chi}_{29},\hat{\chi}_{30}\}$ an den Knoten $\{d_1,d_2\} = \{15,16\}$. Diese Charaktere unterscheiden sich nur auf den 28er-Klassen $\{$28A, 28B$\}$ von $ON$.

Damit bleiben insgesamt $6\cdot 2\cdot 2\cdot 2 = 48$ verschiedene Fälle zu untersuchen.