Kondensation

Für den Beweis des ersten Blocks von $ON$ modulo 31 habe ich die Permutationsmoduln $(1_{L_3(7)})^{ON}\index{Modul>$(1_{L_3(7)})^{ON}$}$ und $(1_{J_1})^{ON}\index{Modul>$(1_{J_1})^{ON}$}$ mit der sechsten maximalen Untergruppe $H = 3^4:2^{1+4}_-D_{10}\index{Gruppe>$3^4:2^{1+4}_-D_{10}$}\leq ON$ kondensiert. $(1_{L_3(7)})^{ON}$ kondensiert zu einem Modul der Dimension 16 und $(1_{J_1})^{ON}$ kondensiert zu einem Modul der Dimension 114. In der Tabelle 3.36 sind die Zerlegungszahlen des ersten Blocks für diese Permutationsmoduln und in der Tabelle 3.37 sind die Dimensionen der einfachen kondensierten $eFGe$-Moduln des ersten Blocks aufgelistet. Die benutzte Kondensationsalgebra ist ${\protect\mathcal{C}}= \langle eae, ebe, eg_{31}e, eg_{28}e\rangle$.

Tabelle 3.36: Zerlegungszahlen ($ON$, Primzahl 31, Block 1)

$d_{\psi,\varphi}$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$	$\varphi_{11}$	$\varphi_{12}$	$\varphi_{13}$	$\varphi_{14}$	$\varphi_{15}$
$(1_{L_3(7)})^{ON}\!\!\rule{0cm}{2.5ex}$	2	2	0	1	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0
$(1_{J1})^{ON}$	3	3	3	1	1	3	1	3	3	3	1	1	1	3	1

Tabelle 3.37: Skalarprodukte ($ON$, Primzahl 31, Block 1)

$(\bullet,\bullet\vert _H)_H$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$	$\varphi_{11}$	$\varphi_{12}$	$\varphi_{13}$	$\varphi_{14}$	$\varphi_{15}$
$1_H\rule{0em}{2.5ex}$	1	0	1	1	1	2	2	3	3	3	5	3	5	5	6

Beim Kondensieren der Moduln $M_1 := (1_{J_1})^{ON}$ und $M_2 := (1_{L_3(7)})^{ON}$ mit $H$ in Charakteristik 31 ergeben sich für die kondensierten Elemente $eg_{31}e$ und $eg_{28}e\in {\protect\mathcal{C}}$ die Spuren auf den Konstituenten von $M_1e\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$, bzw. $M_2e\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ entsprechend den Tabellen 3.38 und 3.39. In den Tabellen 3.40 bzw. 3.41 sind die Werte $\vert H\vert^{-1}\sum_{h\in H} \operatorname{Trace}_{\varphi_i}(gh)$ der Spurformel (2.3) für die Elemente $g_{31}$, bzw.$g_{28}$ für die einzelnen Brauerbaum-Kandidaten enthalten.

Tabelle 3.38: Spuren der kondensierten Elemente $eg_{31}e$ und $eg_{28}e$ auf den Konstituenten von $(1_{J_1})^{ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$, ($ON$, Primzahl 31, Block 1).

Name	Anzahl	$\operatorname{Trace}_{Ve}(eg_{31}e)$	$\operatorname{Trace}_{Ve}(eg_{28}e)$
1a	1	$(\zeta_{31})^3$	$\zeta_{31}$
1b	1	$(\zeta_{31})^{20}$	0
1c	1	$(\zeta_{31})^{17}$	$(\zeta_{31})^6$
1d	3	$(\zeta_{31})^{13}$	0
1e	3	$1$	$1$
2a	3	$(\zeta_{31})^{16}$	0
2b	1	$(\zeta_{31})^{13}$	$(\zeta_{31})^4$
3a	1	$(\zeta_{31})^{29}$	$(\zeta_{31})^{25}$
3b	3	$(\zeta_{31})^5$	$(\zeta_{31})^{23}$
3c	1	$1$	$(\zeta_{31})^{17}$
3d	1	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{17}$
3e	1	$(\zeta_{31})^{23}$	$(\zeta_{31})^{16}$
3f	3	$(\zeta_{31})^{20}$	$(\zeta_{31})^8$
3g	1	$(\zeta_{31})^{13}$	$(\zeta_{31})^{16}$
3h	3	$(\zeta_{31})^{19}$	$(\zeta_{31})^5$
5a	1	$(\zeta_{31})^{12}$	$(\zeta_{31})^{20}$
5b	3	$(\zeta_{31})^{25}$	$1$
5c	1	$(\zeta_{31})^{22}$	$(\zeta_{31})^9$
5d	1	$(\zeta_{31})^{14}$	$1$
6a	1	$(\zeta_{31})^{12}$	$(\zeta_{31})^9$
6b	2	$(\zeta_{31})^{15}$	$(\zeta_{31})^{15}$
7a	1	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{23}$

Tabelle 3.39: Spuren der kondensierten Elemente $eg_{31}e$ und $eg_{28}e$ auf den Konstituenten von $(1_{L_3(7)})^{ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$, ($ON$, Primzahl 31, Block 1).

Name	Anzahl	$\operatorname{Trace}_{Ve}(eg_{31}e)$	$\operatorname{Trace}_{Ve}(eg_{28}e)$
1a	2	$(\zeta_{31})^3$	$\zeta_{31}$
1b	1	$1$	$1$
1c	1	$(\zeta_{31})^{20}$	0
2a	1	$(\zeta_{31})^{16}$	0
3a	1	$(\zeta_{31})^{23}$	$(\zeta_{31})^{16}$
3b	1	$(\zeta_{31})^{20}$	$(\zeta_{31})^8$
4a	1	$(\zeta_{31})^6$	$(\zeta_{31})^9$

Tabelle 3.40: Spurformel für $g_{31}$ für die verschiedenen Brauercharakter-Kandidaten von $ON$, Primzahl 31, Block 1

									$\frac{1}{\vert H\vert}\sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_{\varphi_i}(g_{31}h)$
$a_1$	$a_2$	$a_3$	$b_1$	$b_2$	$c_1$	$c_2$	$d_1$	$d_2$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$
12	13	14	8	9	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^3$	$(\zeta_{31})^3$	$(\zeta_{31})^{23}$
12	13	14	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{10}$	$(\zeta_{31})^{10}$	$(\zeta_{31})^{11}$
12	13	14	8	9	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^5$	$(\zeta_{31})^5$	$(\zeta_{31})^{19}$
12	13	14	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{13}$	$(\zeta_{31})^{13}$	$(\zeta_{31})^{22}$
12	13	14	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^4$	$(\zeta_{31})^4$	$(\zeta_{31})^{23}$
12	13	14	9	8	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{11}$
12	13	14	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{26}$	$(\zeta_{31})^{26}$	$(\zeta_{31})^{19}$
12	13	14	9	8	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^6$	$(\zeta_{31})^6$	$(\zeta_{31})^{22}$
12	14	13	8	9	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^9$	$(\zeta_{31})^3$	$(\zeta_{31})^{23}$
12	14	13	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^3$	$(\zeta_{31})^{10}$	$(\zeta_{31})^{11}$
12	14	13	8	9	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{16}$	$(\zeta_{31})^5$	$(\zeta_{31})^{19}$
12	14	13	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^5$	$(\zeta_{31})^{13}$	$(\zeta_{31})^{22}$
12	14	13	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{29}$	$(\zeta_{31})^4$	$(\zeta_{31})^{23}$
12	14	13	9	8	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^4$	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{11}$
12	14	13	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^8$	$(\zeta_{31})^{26}$	$(\zeta_{31})^{19}$
12	14	13	9	8	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{26}$	$(\zeta_{31})^6$	$(\zeta_{31})^{22}$
13	12	14	8	9	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^3$	$(\zeta_{31})^{11}$	$(\zeta_{31})^{10}$
13	12	14	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{10}$	$(\zeta_{31})^{23}$	$(\zeta_{31})^3$
13	12	14	8	9	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^5$	$(\zeta_{31})^{19}$	$(\zeta_{31})^5$
13	12	14	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{13}$	$(\zeta_{31})^{14}$	$(\zeta_{31})^{16}$
13	12	14	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^4$	$(\zeta_{31})^{20}$	$(\zeta_{31})^{10}$
13	12	14	9	8	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^7$	$\zeta_{31}$	$(\zeta_{31})^3$
13	12	14	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{26}$	$(\zeta_{31})^{18}$	$(\zeta_{31})^5$
13	12	14	9	8	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^6$	$(\zeta_{31})^{24}$	$(\zeta_{31})^{16}$
13	14	12	8	9	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{21}$	$(\zeta_{31})^{11}$	$(\zeta_{31})^{10}$
13	14	12	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{11}$	$(\zeta_{31})^{23}$	$(\zeta_{31})^3$
13	14	12	8	9	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{22}$	$(\zeta_{31})^{19}$	$(\zeta_{31})^5$
13	14	12	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{19}$	$(\zeta_{31})^{14}$	$(\zeta_{31})^{16}$
13	14	12	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{28}$	$(\zeta_{31})^{20}$	$(\zeta_{31})^{10}$
13	14	12	9	8	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{20}$	$\zeta_{31}$	$(\zeta_{31})^3$
13	14	12	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^{18}$	$(\zeta_{31})^5$
13	14	12	9	8	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{18}$	$(\zeta_{31})^{24}$	$(\zeta_{31})^{16}$
14	12	13	8	9	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^9$	$(\zeta_{31})^{21}$	$(\zeta_{31})^{27}$
14	12	13	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^3$	$(\zeta_{31})^{11}$	$(\zeta_{31})^{10}$
14	12	13	8	9	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{16}$	$(\zeta_{31})^{22}$	$(\zeta_{31})^{13}$
14	12	13	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^5$	$(\zeta_{31})^{19}$	$(\zeta_{31})^5$
14	12	13	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{29}$	$(\zeta_{31})^{28}$	$(\zeta_{31})^{27}$
14	12	13	9	8	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^4$	$(\zeta_{31})^{20}$	$(\zeta_{31})^{10}$
14	12	13	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^8$	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^{13}$
14	12	13	9	8	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{26}$	$(\zeta_{31})^{18}$	$(\zeta_{31})^5$
14	13	12	8	9	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{21}$	$(\zeta_{31})^{21}$	$(\zeta_{31})^{27}$
14	13	12	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{11}$	$(\zeta_{31})^{11}$	$(\zeta_{31})^{10}$
14	13	12	8	9	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{22}$	$(\zeta_{31})^{22}$	$(\zeta_{31})^{13}$
14	13	12	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{19}$	$(\zeta_{31})^{19}$	$(\zeta_{31})^5$
14	13	12	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{28}$	$(\zeta_{31})^{28}$	$(\zeta_{31})^{27}$
14	13	12	9	8	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{20}$	$(\zeta_{31})^{20}$	$(\zeta_{31})^{10}$
14	13	12	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^{13}$
14	13	12	9	8	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{18}$	$(\zeta_{31})^{18}$	$(\zeta_{31})^5$

Tabelle 3.41: Spurformel für $g_{28}$ für die verschiedenen Brauercharakter-Kandidaten von $ON$, Primzahl 31, Block 1

									$\frac{1}{\vert H\vert}\sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_{\varphi_i}(g_{28}h)$
$a_1$	$a_2$	$a_3$	$b_1$	$b_2$	$c_1$	$c_2$	$d_1$	$d_2$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$
12	13	14	8	9	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{26}$	$(\zeta_{31})^{23}$	$(\zeta_{31})^5$
12	13	14	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^{15}$	$(\zeta_{31})^{28}$
12	13	14	8	9	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{26}$	$(\zeta_{31})^{23}$	$(\zeta_{31})^5$
12	13	14	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^{15}$	$(\zeta_{31})^{28}$
12	13	14	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{11}$	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^5$
12	13	14	9	8	10	11	16	15	$1$	$(\zeta_{31})^{10}$	$(\zeta_{31})^{28}$
12	13	14	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{11}$	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^5$
12	13	14	9	8	11	10	16	15	$1$	$(\zeta_{31})^{10}$	$(\zeta_{31})^{28}$
12	14	13	8	9	10	11	15	16	0	$(\zeta_{31})^{23}$	$(\zeta_{31})^5$
12	14	13	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^4$	$(\zeta_{31})^{15}$	$(\zeta_{31})^{28}$
12	14	13	8	9	11	10	15	16	0	$(\zeta_{31})^{23}$	$(\zeta_{31})^5$
12	14	13	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^4$	$(\zeta_{31})^{15}$	$(\zeta_{31})^{28}$
12	14	13	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^5$	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^5$
12	14	13	9	8	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{22}$	$(\zeta_{31})^{10}$	$(\zeta_{31})^{28}$
12	14	13	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^5$	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^5$
12	14	13	9	8	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{22}$	$(\zeta_{31})^{10}$	$(\zeta_{31})^{28}$
13	12	14	8	9	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{26}$	$(\zeta_{31})^{2}$	$(\zeta_{31})^{16}$
13	12	14	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^{16}$	$(\zeta_{31})^{2}$
13	12	14	8	9	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{26}$	$(\zeta_{31})^{2}$	$(\zeta_{31})^{16}$
13	12	14	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{25}$	$(\zeta_{31})^{16}$	$(\zeta_{31})^{2}$
13	12	14	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{11}$	$(\zeta_{31})^{18}$	$(\zeta_{31})^{16}$
13	12	14	9	8	10	11	16	15	$1$	$(\zeta_{31})^{27}$	$(\zeta_{31})^{2}$
13	12	14	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{11}$	$(\zeta_{31})^{18}$	$(\zeta_{31})^{16}$
13	12	14	9	8	11	10	16	15	$1$	$(\zeta_{31})^{27}$	$(\zeta_{31})^{2}$
13	14	12	8	9	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^9$	$(\zeta_{31})^{2}$	$(\zeta_{31})^{16}$
13	14	12	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{16}$	$(\zeta_{31})^{2}$
13	14	12	8	9	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^9$	$(\zeta_{31})^{2}$	$(\zeta_{31})^{16}$
13	14	12	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{16}$	$(\zeta_{31})^{2}$
13	14	12	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{13}$	$(\zeta_{31})^{18}$	$(\zeta_{31})^{16}$
13	14	12	9	8	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{19}$	$(\zeta_{31})^{27}$	$(\zeta_{31})^{2}$
13	14	12	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{13}$	$(\zeta_{31})^{18}$	$(\zeta_{31})^{16}$
13	14	12	9	8	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{19}$	$(\zeta_{31})^{27}$	$(\zeta_{31})^{2}$
14	12	13	8	9	10	11	15	16	0	$(\zeta_{31})^{17}$	$(\zeta_{31})^{21}$
14	12	13	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^4$	$(\zeta_{31})^{14}$	$(\zeta_{31})^3$
14	12	13	8	9	11	10	15	16	0	$(\zeta_{31})^{17}$	$(\zeta_{31})^{21}$
14	12	13	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^4$	$(\zeta_{31})^{14}$	$(\zeta_{31})^3$
14	12	13	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^5$	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{21}$
14	12	13	9	8	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{22}$	$(\zeta_{31})^{20}$	$(\zeta_{31})^3$
14	12	13	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^5$	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{21}$
14	12	13	9	8	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{22}$	$(\zeta_{31})^{20}$	$(\zeta_{31})^3$
14	13	12	8	9	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^9$	$(\zeta_{31})^{17}$	$(\zeta_{31})^{21}$
14	13	12	8	9	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{14}$	$(\zeta_{31})^3$
14	13	12	8	9	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^9$	$(\zeta_{31})^{17}$	$(\zeta_{31})^{21}$
14	13	12	8	9	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{14}$	$(\zeta_{31})^3$
14	13	12	9	8	10	11	15	16	$(\zeta_{31})^{13}$	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{21}$
14	13	12	9	8	10	11	16	15	$(\zeta_{31})^{19}$	$(\zeta_{31})^{20}$	$(\zeta_{31})^3$
14	13	12	9	8	11	10	15	16	$(\zeta_{31})^{13}$	$(\zeta_{31})^7$	$(\zeta_{31})^{21}$
14	13	12	9	8	11	10	16	15	$(\zeta_{31})^{19}$	$(\zeta_{31})^{20}$	$(\zeta_{31})^3$

Betrachte nun zunächst das Element $g_{28}$:

• Nach der Tabelle 3.37 kondensiert $\varphi_{6}$ zu einem Modul der Dimension zwei, der in $(1_{L_3(7)})^{ON}$ einmal vorkommt. Aus der Tabelle 3.39 folgt nun $\operatorname{Trace}_{\varphi_6e}(eg_{28}e) = 0$. Dies ist nur bei vier verschiedenen Kandidaten der Fall. Festgelegt sind damit die Werte $a_3=13$, $b_1=8$, $b_2=9$, $d_1=15$ und $d_2=16$.
• $\varphi_{9}$ kondensiert zu einem Modul der Dimension drei, der in $(1_{J_1})^{ON}$ mit Vielfachheit drei vorkommt. Also gilt $\operatorname{Trace}_{\varphi_9e}(eg_{28}e) \in \{(\zeta_{31})^8, (\zeta_{31})^5, (\zeta_{31})^{23}\}$. Damit wird der Fall $a_1=14$ ausgeschlossen, es folgt somit $a_1=12$ und $a_2 = 14$.
• Mit $g_{28}$ können keine weitere Fälle unterschieden werden, da die Spuren des kondensierten Elementes $eg_{28}e$ auf den verbleibenden Kandidaten $\{c_1,c_2\} = \{10,11\}$ gleich ist. Betrachte also $g_{31}$:
  $\varphi_{10}$ kondensiert zu einem Modul der Dimension drei, der in $(1_{J_1})^{ON}$ mit Vielfachheit drei vorkommt. Also ist $\operatorname{Trace}_{\varphi_{10}e}(eg_{31}e) \in \{(\zeta_{31})^{19}, (\zeta_{31})^{20}, (\zeta_{31})^5\}$. Damit folgt dann $c_1= 11$ und $c_2=10$.

Insgesamt folgt somit $a_1=12$, $a_2 = 14$, $a_3=13$, $b_1=8$, $b_2=9$, $c_1= 11$, $c_2=10$, $d_1=15$ und $d_2=16$. Der Brauerbaum ist in Abbildung 3.10 dargestellt.

Abbildung 3.10: Der Brauerbaum von $ON$, Primzahl 31, Block 1