495-dimensionale Darstellung von $3.ON$ über $GF(11^2)$

Mit GAP kann man leicht nachrechnen, daß

$$\begin{split}(1_{L_3(7):2})^{3.ON} &= 1 + 10\,944 + 26\,752 +... ...38} + \chi_{51} + \chi_{52} + \chi_{53} + \chi_{54} \end{split}$$ (4.10)

eine Zerlegung des Permutationscharakters in die gewöhnlichen irreduziblen Charaktere ist. Also folgt

$$\begin{split}(1_{L_3(7):2})^{3.ON}\vert _{11'} &= 2\cdot 1 + ... ... + 4\cdot 20\,925 + 2\cdot 37\,728 + 2\cdot 42\,687 \end{split}$$ (4.11)

Nach (4.11) ist bekannt, daß zwei 495-dimensionale Moduln in der Zerlegung des Permutationsmoduls von $3.ON$ auf 368$\,$280 Punkten vorkommen. Um eine 495-dimensionale Darstellung von $3.ON$ zu erhalten, gehe folgendermaßen vor:

1.

Der Permutationsmodul $V = (1_{L_3(7):2})^{3.ON}$ wird mit der Kondensationsgruppe $H=L_2(31)$ kondensiert. Die benutzte Kondensationsalgebra ist ${\protect\mathcal{C}}= \langle eae, ebe, eg_{31}e\rangle$. Dadurch erhält man einen Modul ,,kleiner`` Dimension.

2.

Der kondensierte Modul wird mit dem MeatAxe-Programm chop in seine Konstituenten zerteilt. Die Dimensionen der Konstituenten des kondensierten Permutationsmoduls sind in Tabelle 4.1 aufgelistet.

3.

Im kondensierten ${\protect\mathcal{C}}$-Modul $Ve\vert _{{\protect\mathcal{C}}}$ sind zwei eindimensionale Konstituenten mit Vielfachheit 1. Mit der in [LMR94] beschriebenen und in MeatAxe implementierten Methode der Peakwords, erhält man einen Vektor $v\in Ve$, der zu einem der kondensierten 495-dimensionalen $FG$-Moduln gehört.

4.

Da für einen $FG$-Modul $V$ auch $Ve\subset V$ ist, kann $v\in Ve$ in den kleinsten $FG$-Teilmodul $W$ von $V$ eingebettet werden, der $v$ enthält. Bei einem Permutationsmodul wird durch die Umkehrabbildung von $\beta$ aus (2.4) und durch Bilden von Bahnensummen diese Einbettung gegeben. Dieser Prozeß wird unkondensieren genannt.

Nun wird der Vektor $v\in Ve$ unkondensiert.

5.

Der Spinning-Algorithmus, angewendet auf den unkondensierten Vektor $v$, liefert einen 495-dimensionalen $FG$-Modul $W$.

An der Spur eines Repräsentanten der Klasse 16a kann man sehen, ob der erhaltene 495-dimensionale $FG$-Modul zu den Charakteren $\{495_1, \overline{495_1}\}$ oder $\{495_2, \overline{495_2}\}$ gehört. Durch die Definition des zentralen Elementes $z = (ab)^{22}$, wobei $a$ und $b$ Standarderzeuger von $3.ON$ sind, kann man nun zwischen dem Modul $495_i$ ($i=1,2$) und seinem konjugierten $\overline{495_i}$ unterscheiden.

Tabelle 4.1: Dimensionen und Vielfachheiten der Konstituenten des kondensierten Permutationsmoduls $(1_{L_3(7):2})^{3.ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$ über $GF(11)$.

$\dim V$	$\dim Ve$	Vielfachheit
1	1	2
495	1	1
495	1	1
10$\,$943	2	1
42$\,$687	4	1
42$\,$687	4	1
20$\,$925	5	2
32$\,$395	5	1
20$\,$925	5	2
37$\,$728	6	1
37$\,$728	6	1
52$\,$668	7	1
26$\,$752	8	1