Kondensieren eines Permutationsmodul

Sei $U\leq G$ und $M = (1_U)^G$ ein $n$-dimensionaler $FG$-Permutationsmodul mit $F$-Basis $\{v_1,\dots,v_n\}$. $G$ operiert auf $M$ durch Permutation der Basisvektoren $v_j g = v_{jg}$ für $j=1,\dots,n$. Sei $H\leq G$ mit $\operatorname{char}(F)\nmid \vert H\vert$ Kondensationsgruppe und $e = e_H$ das zu $H$ gehörige zentrale Idempotent. Seien $B_1,\dots,B_m$ die Bahnen von $\{v_1,\dots,v_n\}$ unter $H$, dann existiert zu jedem $v_j$ ein $B_i$ mit $v_j\in B_i$. Dadurch wird eine Abbildung $\beta$ definiert:

$$\beta: \{1,\dots,n\} \to \{1,\dots,m\}: j\mapsto i v_j \in B_i.$$ (2.4)

d.h. $v_j \in B_{\beta(j)}$. Seien $I_1,\dots, I_m$ die Urbilder von $\{1,\dots,m\}$ bzgl.$\beta$, d.h. $I_i = \beta^{-1}(i)$ und $B_i = \{v_j \mid j\in I_i\}$. Die Bahnensummen $b_i := \sum_{j\in I_i} v_j$ bilden eine $F$-Basis von $Me$. Also ist

$$b_i = \sum_{j \in I_i}v_j = \frac 1{\vert\operatorname{Stab}_H(v... ...ert B_i\vert}{\vert H\vert} \sum_{h\in H} v_{j_i} h = \vert B_i\vert v_{j_i} e,$$    für $$j_i \in I_i,\ 1\leq i \leq m.$$

Damit gilt für $1\leq j\leq n$:

$$b_i e g e = (\vert B_i\vert v_{j_i} e)e g e = \vert B_i\vert v_{j... ..._i} v_{jg} e = \sum_{j\in I_i} \frac 1{\vert B_{\beta(jg)}\vert} b_{\beta(jg)}.$$ (2.5)

Eine $m\times m$-Darstellung der Operation von $ege$ auf $Me$ bzgl. der Basis $\{b_1,\dots,b_m\}$ ist also durch die Operation von $G$ auf $\{1,\dots, n\}$, die Bahnen $B_i$ und die Abbildung $\beta$ gegeben.

2.2.1 Beispiel (Kondensation eines Permutationsmoduls mit der MeatAxe )
$U := J_1\index{Gruppe>$J_1$} \leq 3.ON$ ist eine Untergruppe von $3.ON$ von Index $7\,874\,496$. In diesem Beispiel werden nun die Schritte der Kondensation des Permutationsmoduls $M = (1_{J_1})^{3.ON}\index{Modul>$(1_{J_1})^{3.ON}$}$ mit der MeatAxe erläutert. Diese Kondensation ist Teil des Beweis für den Brauerbaum des zweiten Blocks von $3.ON$ über Charakteristik 19. Dazu siehe auch Abschnitt 3.4 auf Seite .

Sei $G=3.ON$ die dreifache Überlagerung der O'Nan-Gruppe. $g_1 = \texttt{g.1}$ und $g_2 = \texttt{g.2}$ seien Standarderzeuger von $3.ON$ als Permutationen auf den Nebenklassen von $3.ON$ nach $J_1$, also auf $\vert 3.ON/J_1\vert = 7\,874\,496$ Punkten gegeben. Die Konstruktion dieser Permutationen wird in Abschnitt 4.4 beschrieben. Wie in Abschnitt 4.2 beschrieben, werden die Erzeuger $k_1 = \texttt{k.1}$ und $k_2 = \texttt{k.2}$ der Untergruppe $\langle k_1,k_2\rangle = H \cong L_2(31)\index{Gruppe>$L_2(31)$} \leq 3.ON$ aus den Standarderzeugern $g_1,g_2$ berechnet. Sei $e := e_H$ nach (2.1).

Um den kondensierten Modul $Me$ mit der MeatAxe zu berechnen muß man folgendes machen:

Zunächst bestimmt man mit dem MeatAxe-Programm zmo die Bahnen $B_i$ der Operation der Untergruppe $H = \langle \texttt{k.1}, \texttt{k.2}\rangle$. Dazu werden als Parameter die Untergruppenerzeuger (k) und die Ausgabedateien, in die die Bahnen (orb) und die Bahnenlängen (szg) geschrieben werden, übergeben:

orb enthält nun die Bahnen $B_i$ als Vektor aller Punkte. In szg sind die Längen der Bahnen enthalten. Ist $n_1 = \vert B_1\vert$ die erste Zahl aus szg (Länge der ersten Bahn), so gehören die ersten $n_1$ Punkte aus orb zu $B_1$. Ist $n_2 = \vert B_2\vert$ die zweite Zahl aus szg, so gehören die Punkte von $n_1+1$ bis $n_1+n_2$ aus orb zu $B_2$, etc.

Das MeatAxe-Programm zkd, das für ein Element $g\in G$ eine Darstellung der Operation von $ege$ nach (2.5) berechnet, geht oBdA.davon aus, daß die Bahnen $B_1,\dots,B_m$ unter der Operation von $L_2(31)$ konsekutiv sind, d.h. $B_1 = \{1,\dots,n_1\}$, $B_2 = \{n_1+1, \dots, n_1+n_2\}$, etc. Mit der MeatAxe erreicht man dies, indem alle Gruppenelemente mit dem Bahnvektor orb ,,konjugiert`` werden.

Das Ergebnis der Kondensation ist in kdg.1 enthalten, d.h. $\texttt{kdg.1} = e\,\texttt{stg.1}\,e$. Die letzten drei Befehle werden auch auf den Gruppenerzeuger $g_2$ angewendet, sowie auf alle weiteren Elementen $g\in G$, die kondensiert werden sollen. Nach der Untersuchung in Abschnitt 3.4 ist bekannt, daß $\dim_F(Me) = 668$. Die $668\times 668$-Matrizen kdg.$n$ geben nun die Operation der kondensierten Elemente $eg_ne$ auf $Me$ an. $\blacksquare$