56-Dimensionaler Modul von $L_3(7):2$

Nach [CCN$^$85] ist $7^{1+2}:(3\times D_8)$ eine maximale Untergruppe von $L_3(7):2$ von Index 57 und es gilt

$$(1_{7^{1+2}:(3\times D_8)})^{L_3(7):2} = 1 + 56.$$ (4.14)

Sei die Gruppe $L_3(7):2 \leq 3.ON$ gegeben als Erzeugnis von Permutationen auf 465 Punkten:

$$\langle l_1, l_2 \rangle = L_3(7):2 \leq 3.ON.$$

Dies entspricht der Permutationsoperation von $L_3(7):2$ auf den Nebenklassen von $7^{1+2}:3\leq 7^{1+2}:(3\times D_8)$ und es gilt $(1_{7^{1+2}:3})^{L_3(7):2} = 1 + 56a + 56b + 343$. Über $GF(121)$ lassen sich die beiden 56-dimensionalen Konstituenten der Permutationsdarstellung realisieren. Mit dem MeatAxe-Programm chop erhält man somit über $GF(121)$ eine 56-dimensionale Darstellung von $L_3(7):2$.