Schnee

Ein schwieriges Problem ist es, Schneeflocken zu zählen, die vom Himmel fallen. Da ist es leichter, die Nebenklassenverteilung $\vert Cl_j\cap gH\vert$ für $j=1,\dots,n$ bei gegebenem $g\in G$ und $H\leq G$ zu bestimmen. Dazu laufe (mit ,,brutaler Gewalt``) mit $h$ durch die ganze Untergruppe $H$ und bestimme die Zugehörigkeit des Elementes $gh$ zu einer Konjugiertenklasse $Cl_j$ von $G$ durch genügend viele Invarianten einer Konjugiertenklasse:

1.

Die Ordnung des Elementes $gh$ bestimmt die Menge der Konjugiertenklassen, in denen $gh$ liegen kann. Falls es nur eine Konjugiertenklasse dieser Ordnung gibt, so wird die Zugehörigkeit zu der Konjugiertenklasse schon durch die Elementordnung festgelegt.

2.

Das Element $g\in G$ und die Erzeuger von $H$ sind als Wörter in Standarderzeugern von $G$ gegeben. Ist auch $h$ als Wort in den Erzeugern von $H$ gegeben, so kann das Element $gh$ als Wort in den Standarderzeugern von $G$ geschrieben werden. Dann kann man das Wort von $gh$ in genügend vielen geeigneten Darstellungen berechnen, die zugehörigen Spuren bestimmen und mit den bekannten Werten der Charaktertafel vergleichen. Dazu eignet sich z.B.eine Permutationsdarstellung oder eine Matrixdarstellung von kleinem Grad, schließlich müssen die Elemente, die als Worte in Standarderzeugern gegeben sind, explizit durch Matrixmultiplikationen berechnet werden. Um Spuren zu vergleichen, müssen natürlich auch Repräsentanten von den Konjugiertenklassen bekannt sein.

Die kleinste Permutationsdarstellung von $G\in\{ON,3.ON\}$ ist die durch $G$ induzierte Operation auf den Nebenklassen von $G$ nach $L_3(7):2\leq G$. Für $G=ON$ ist dies eine Operation auf 122$\,$760 Punkten und für $G=3.ON$ ist dies eine Operation auf 368$\,$280 Punkten. Daher will man nicht alle Elemente gleichzeitig aufschreiben. Um die Elemente $h\in H$ als Worte in den Erzeugern von $H$ zu erhalten, benutzte ich einen Bahnenalgorithmus mit Tiefensuche, um nacheinander alle Elemente $gh$ für $h\in H\leq G$ zu bestimmen.