Spuren im Schnee

Im Abschnitt 2.2 wurden zwei Verfahren vorgestellt, wie die eine Seite der Spurformel (2.3) explizit mit der MeatAxe berechnet werden kann. In diesem Abschnitt werde ich mich der anderen Seite der Gleichung zuwenden, der Bestimmung von $\sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_V(gh)$. Um $\operatorname{Trace}_V(gh)$ mit GAP zu berechnen, wird aus jedem Brauerbaum-Kandidaten von $ON$, bzw.$3.ON$ aus [HL89] und den in GAP vorhandenen gewöhnlichen Charaktertafeln jeweils eine Menge von irreduziblen Brauercharakter-Kandidaten berechnet. Dann kann der zu $V$ gehörige Brauercharakter zerlegt werden in die irreduziblen Brauercharakter-Kandidaten. Für jeden Brauerbaum-Kandidaten wird in GAP nun $\vert H\vert^{-1} \sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_V(gh)$ bestimmt. Falls dieser Wert nur für einen Kandidaten mit dem entsprechenden Wert übereinstimmt, der mit der MeatAxe berechnet wurde, so ist der Brauerbaum-Kandidat ,,der`` Brauerbaum.

Sei $G$ eine endliche Gruppe, $H\leq G$ und $Cl_1,\dots,Cl_n$ seien die Konjugiertenklassen von $G$ mit Klassenvertretern $x_j$. Dann gilt

$$\sum_{h\in H} \operatorname{Trace}_V(gh) = \sum_{j=1}^n \vert Cl_j\cap gH\vert\cdot \operatorname{Trace}_V(x_j).$$

Somit stellen sich die beiden Aufgaben, $\vert Cl_j\cap gH\vert$ und $\operatorname{Trace}_V(x_j)$ zu bestimmen.