Repräsentanten von Konjugiertenklassen in $ON$

Die Wahl von Repräsentanten der Konjugiertenklassen birgt zunächst eine gewisse Willkür. Werden die Repräsentanten der Konjugiertenklassen, auf denen sich algebraisch konjugierte Charaktere eines Blockes unterscheiden, vertauscht, so kann es sein, daß ebenso die Positionen dieser Charaktere auf den Knoten des Brauerbaums vertauscht werden. Wie sich dies auswirkt, wird am Beispiel des ersten Blocks von $ON$ in Charakteristik 11 in Abschnitt 3.1.3 untersucht.

Außerdem sollten einmal gewählte Repräsentanten fest bleiben, damit verschiedene Charaktertafeln konsistent bleiben. In [HHM99] wurden Repräsentanten einiger Konjugiertenklassen von $ON$ festgelegt. Diese sind in der Tabelle 2.1 abgebildet.

Ich habe die Repräsentanten der Konjugiertenklassen 19A, 19B und 19C auf Konsistenz mit der in [HHM99] berechneten 7-modularen Charaktertafel von $ON$ geprüft. Dazu habe ich einerseits die Repräsentanten der Konjugiertenklassen aus Standarderzeugern aus [WWT$^$] der $406$-dimensionalen Darstellung von $ON$ über $GF(7)$ erzeugt, anschließend mit MeatAxe die Spur berechnet und mit der Spur des entsprechenden Brauercharakters der (in GAP) bekannten Charaktertafel von $ON$ modulo 7 verglichen.

Weitere Repräsentanten ergeben sich aus den in Tabelle 2.1 festgelegten, z.B.durch den äußeren Automorphismus von $ON:2$. In der Tabelle 2.3 auf Seite sind zum Teil die Repräsentanten angegeben, die beim Durchlaufen der Nebenklassen mit $gh$ für $h\in H = 3^4:2^{1+4}_-D_{10}$ als erster ,,Treffer`` ihrer Konjugiertenklasse auftauchten.

Tabelle 2.1: Repräsentanten einiger Konjugiertenklassen von $ON$

Klasse	Repräsentant:
2A	$((ab)^2b)^{30}$
4A	$((ab)^2b)^{15}$
4B	$(d^2cd^3cdc)^{36}$
5A	$((ab)^2b)^{12}$
8A	$(d^2cd^3cdc)^{18}$
10A	$((ab)^2b)^6$
11A	$(ab)^3$
16A	$(d^2cd^3cdc)^9$
16B	$(d^2cd^3cdc)^3$
19A	$(ab)^3b$
19B	$((ab)^3b)^2$
19C	$((ab)^3b)^4$
20A	$((ab)^2b)^3$
20B	$((ab)^2b)^{-3}$
31A	$(d^3c)^{-1}$

Definiere $c := (ab)^4b$ und $d := abc$, wobei $a$ und $b$ Standarderzeuger von $ON$ sind.