Änderungen bei den Repräsentanten der Konjugiertenklassen

Beim Abzählen der Konjugiertenklassen in Abschnitt 2.3.2 sind Repräsentanten für die Konjugiertenklassen von $ON$ festgelegt worden (Vergleiche auch Tabelle 2.3). Wenn die Repräsentanten der Konjugiertenklassen vertauscht werden, so verändert sich auch der Brauerbaum.

1.

Werden die Repräsentanten der Klassen 15A und 15B miteinander vertauscht, der Repräsentant der Klasse 15A definiert ist als $(ab)^3bab^2(k_1^2k_2)^7k_1^2$ und der Repräsentant der Klasse 15B ist definiert als $(ab)^3bab^2(k_1^2k_2)^7$, so werden die Knoten $b_1$ und $b_2$ am Brauerbaum vertauscht.

2.

Es fällt auf, daß

$$\vert Cl_{\texttt{19A}}\cap g_{31} H\vert - \vert Cl_{\texttt{19C}} \cap g_{31} H\vert = 22 \equiv 0 \pmod{11},$$

$$\vert Cl_{\texttt{19A}}\cap g_{28} H\vert - \vert Cl_{\texttt{19C}} \cap g_{28} H\vert = 33 \equiv 0 \pmod{11}.$$

Eine Vertauschung der Repräsentanten der Klassen 19A und 19C bewirkt somit keine Änderung des Brauerbaums.

3.

Werden die Repräsentanten der Klassen 19A und 19C mit dem Repräsentanten der Klasse 19B vertauscht, so permutieren die Knoten $a_1,a_2,a_3$ am Brauerbaum.