Kondensation

Sei $H = 3^4:2^{1+4}_-D_{10}\index{Gruppe>$3^4:2^{1+4}_-D_{10}$}\leq ON$ (die sechste maximale Untergruppe von $ON$) Kondensationsgruppe und betrachte die Kondensation der Permutationsmoduln $(1_{L_3(7)})^{ON}\index{Modul>$(1_{L_3(7)})^{ON}$}$ und $(1_{J_1})^{ON}\index{Modul>$(1_{J_1})^{ON}$}$. Als Kondensationsalgebra nehme ${\protect\mathcal{C}}:= \langle eae, ebe, eg_{31}e, eg_{28}e\rangle$. In der Tabelle 3.2 sind die Zerlegungszahlen des ersten Blocks für diese Permutationsmoduln und in der Tabelle 3.3 sind die Dimensionen der einfachen kondensierten $eFGe$-Moduln des ersten Blocks angegeben. Die Dimension des kondensierten Permutationsmoduls $(1_{L_3(7)})^{ON} e$ ist 16 und die Dimension des kondensierten Permutationsmoduls $(1_{J_1})^{ON}e$ ist 114.

Tabelle 3.2: Zerlegungszahlen ($ON$, Primzahl 11, Block 1)

$d_{\psi,\varphi}$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$
$(1_{L_3(7)})^{ON}\rule{0cm}{2.5ex}$	2	2	1	1	0	0	1	0	0	0
$(1_{J1})^{ON}$	2	1	3	2	2	2	1	2	3	2

Tabelle 3.3: Skalarprodukte ($ON$, Primzahl 11, Block 1)

$(\bullet,\bullet\vert _H)_H$	$\varphi_{1}$	$\varphi_{2}$	$\varphi_{3}$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{5}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$	$\varphi_{9}$	$\varphi_{10}$
$1_H\rule{0em}{2.5ex}$	1	0	0	1	2	2	4	4	6	6

Beim Kondensieren der Moduln $(1_{J_1})^{ON}$ und $(1_{L_3(7)})^{ON}$ mit $H$ ergeben sich für die kondensierten Elemente $eg_{31}e$ und $eg_{28}e\in eFGe$ die Spuren auf den Konstituenten der kondensierten Permutationsmoduln entsprechend den Tabellen 3.5 und 3.6. In den Tabellen 3.7 bzw.3.8 sind die Werte $\vert H\vert^{-1}\sum_{h\in H} \operatorname{Trace}_{\varphi_i}(gh)$ der Spurformel (2.3) für die verschiedenen Brauerbaum-Kandidaten für die Elemente $g_{31}$, bzw.$g_{28}$ enthalten.

Tabelle 3.5: Spuren der kondensierten Elemente $eg_{31}e$ und $eg_{28}e$ auf den Konstituenten von $(1_{J_1})^{ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$, ($ON$ Primzahl 11, Block 1).

Name	Anzahl	$\operatorname{Trace}_{Ve}(eg_{31}e)$	$\operatorname{Trace}_{Ve}(eg_{28}e)$
1a	2	$(\zeta_{11})^4$	0
1b	2	$1$	$1$
2a	2	$(\zeta_{11})^8$	$(\zeta_{11})^8$
2b	2	$(\zeta_{11})^7$	$1$
2c	2	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11})$
3a	1	$(\zeta_{11})^3$	0
3b	1	$(\zeta_{11})^3$	$(\zeta_{11})^8$
3c	1	$(\zeta_{11})^9$	0
3d	1	$\zeta_{11}$	$(\zeta_{11})^5$
4a	2	$(\zeta_{11})^7$	$(\zeta_{11})^2$
4b	2	$1$	$1$
4c	1	$(\zeta_{11})^6$	$(\zeta_{11})^2$
5a	1	$(\zeta_{11})^9$	$(\zeta_{11})^6$
6a	2	$(\zeta_{11})^9$	$(\zeta_{11})^7$
6b	3	$(\zeta_{11})^4$	$(\zeta_{11})^4$
7a	1	$(\zeta_{11})^3$	$(\zeta_{11})^9$
12a1	2	$(\zeta_{11})^3$	$(\zeta_{11})^3$

Tabelle 3.6: Spuren der kondensierten Elemente $eg_{31}e$ und $eg_{28}e$ auf den Konstituenten von $(1_{L_3(7)})^{ON}e\vert _{{\mathcal {C}}}$, ($ON$ Primzahl 11, Block 1).

Name	Anzahl	$\operatorname{Trace}_{Ve}(eg_{31}e)$	$\operatorname{Trace}_{Ve}(eg_{28}e)$
1a	1	$(\zeta_{11})^4$	0
1b	2	$1$	$1$
2a	1	$(\zeta_{11})^2$	$\zeta_{11}$
3a	1	$\zeta_{11}$	$(\zeta_{11})^5$
4a	1	$(\zeta_{11})^7$	$(\zeta_{11})^2$
4b	1	$(\zeta_{11})^6$	$(\zeta_{11})^2$

Tabelle 3.7: Spurformel für $g_{31}$ für die verschiedenen Brauercharakter-Kandidaten von $ON$, Primzahl 11, Block 1

					$\frac{1}{\vert H\vert}\sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_{\varphi_i}(g_{31}h)$
$a_1$	$a_2$	$a_3$	$b_1$	$b_2$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$
9	10	11	6	7	$(\zeta_{11})^4$	$(\zeta_{11})^7$	$(\zeta_{11})^6$	$1$
9	10	11	7	6	$(\zeta_{11})^7$	$(\zeta_{11})^7$	0	$(\zeta_{11})^5$
9	11	10	6	7	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11})^7$	$(\zeta_{11})^3$	$1$
9	11	10	7	6	$(\zeta_{11})^9$	$(\zeta_{11})^7$	$(\zeta_{11})^5$	$(\zeta_{11})^5$
10	9	11	6	7	$(\zeta_{11})^4$	$(\zeta_{11})^4$	$(\zeta_{11})^6$	$(\zeta_{11})^8$
10	9	11	7	6	$(\zeta_{11})^7$	$(\zeta_{11})^4$	0	$1$
10	11	9	6	7	$\zeta_{11}$	$(\zeta_{11})^4$	$(\zeta_{11})^9$	$(\zeta_{11})^8$
10	11	9	7	6	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11})^4$	$(\zeta_{11})^3$	$1$
11	9	10	6	7	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11})^3$	$(\zeta_{11})^2$
11	9	10	7	6	$(\zeta_{11})^9$	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11})^5$	$\zeta_{11}$
11	10	9	6	7	$\zeta_{11}$	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11})^9$	$(\zeta_{11})^2$
11	10	9	7	6	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11})^3$	$\zeta_{11}$

Tabelle 3.8: Spurformel für $g_{28}$ für die verschiedenen Brauercharakter-Kandidaten von $ON$, Primzahl 11, Block 1

					$\frac{1}{\vert H\vert}\sum_{h\in H}\operatorname{Trace}_{\varphi_i}(g_{28}h)$
$a_1$	$a_2$	$a_3$	$b_1$	$b_2$	$\varphi_{4}$	$\varphi_{6}$	$\varphi_{7}$	$\varphi_{8}$
9	10	11	6	7	0	$1$	$(\zeta_{11})^2$	$1$
9	10	11	7	6	$(\zeta_{11})^9$	$1$	$(\zeta_{11})^5$	$(\zeta_{11})^9$
9	11	10	6	7	$(\zeta_{11})^4$	$1$	$(\zeta_{11})^6$	$1$
9	11	10	7	6	0	$1$	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11})^9$
10	9	11	6	7	0	0	$(\zeta_{11})^2$	$\zeta_{11}$
10	9	11	7	6	$(\zeta_{11})^9$	0	$(\zeta_{11})^5$	$(\zeta_{11})^7$
10	11	9	6	7	$(\zeta_{11})^2$	0	$(\zeta_{11})^3$	$\zeta_{11}$
10	11	9	7	6	$(\zeta_{11})^5$	0	$(\zeta_{11})^8$	$(\zeta_{11})^7$
11	9	10	6	7	$(\zeta_{11})^4$	$(\zeta_{11})^4$	$(\zeta_{11})^6$	$(\zeta_{11})^3$
11	9	10	7	6	0	$(\zeta_{11})^4$	$(\zeta_{11})^2$	$\zeta_{11}$
11	10	9	6	7	$(\zeta_{11})^2$	$(\zeta_{11})^4$	$(\zeta_{11})^3$	$(\zeta_{11})^3$
11	10	9	7	6	$(\zeta_{11})^5$	$(\zeta_{11})^4$	$(\zeta_{11})^8$	$\zeta_{11}$

Nun werden die Einzelteile zusammengefügt, indem die verschiedenen Spuren, die für die einzelnen Fälle berechneten wurden, nach der Spurformel (2.3) miteinander verglichen werden. Dazu betrachte die Spuren für das Element $g_{31}$:

• Nach der Tabelle 3.3 kondensiert $\varphi_{6}$ zu einem Modul der Dimension zwei. In $(1_{J_1})^{ON}$ kommt $\varphi_{6}$ nach Tabelle 3.2 zweimal vor. In der Tabelle 3.5 sieht man, daß $\operatorname{Trace}_{\varphi_6 e}(eg_{31}e) \in \{(\zeta_{11})^2, (\zeta_{11})^7, (\zeta_{11})^8\}$. Vergleicht man dies mit Tabelle 3.7, so sieht man, daß der Fall $a_1=10$ ausgeschlossen wird.
• $\varphi_{8}$ kondensiert zu einem Modul der Dimension vier, der in $(1_{J_1})^{ON}$ mit Vielfachheit zwei vorkommt. Also gilt $\operatorname{Trace}_{\varphi_8 e}(eg_{31}e) \in \{(\zeta_{11})^7, 1\}$. Damit wird der Fall $a_1=11$ ausgeschlossen, es folgt somit $a_1=9$. Damit folgt desweiteren, daß der Fall $b_1=7$ ausgeschlossen werden kann. Also gilt $a_1=9$, $b_1=6$ und $b_2=7$.
• $\varphi_{7}$ kondensiert zu einem Modul der Dimension vier, der in $(1_{J_1})^{ON}$ bzw. $(1_{L_3(7)})^{ON}$ jeweils einmal vorkommt. Also gilt
  $$\operatorname{Trace}_{\varphi_7 e}(eg_{31}e) \in \{(\zeta_{11})^7... ... \cap \{(\zeta_{11})^7, (\zeta_{11})^6\} = \{(\zeta_{11})^7, (\zeta_{11})^6\}.$$
  Damit folgt $a_2=10$ und $a_3=11$.
• $\varphi_{4}$ kondensiert zu einem eindimensionalen Modul, der in $(1_{J_1})^{ON}$ zweimal und in $(1_{L_3(7)})^{ON}$ einmal vorkommt. Also gilt $\operatorname{Trace}_{\varphi_4 e}(eg_{31}e) \in \{(\zeta_{11})^4, 1\}$.

Insgesamt folgt somit $a_1=9$, $a_2=10$, $a_3=11$, $b_1=6$ und $b_2=7$. Der Brauerbaum ist in Abbildung 3.2 dargestellt.

Abbildung 3.2: Der Brauerbaum von $ON$, Primzahl 11, Block 1