Der Brauerbaum

In Abbildung 3.1 ist der Brauerbaum von $3.ON$ zur Primzahl 11 im Block 1 dargestellt. In der Tabelle 3.1 sind die Nummern und Charaktergrade der entsprechenden gewöhnlichen Charaktere bzw.der Brauercharaktere des ersten Blocks aufgelistet.

Abbildung 3.1: Die Brauerbaum-Kandidaten von $ON$, Primzahl 11, Block 1

Tabelle 3.1: Nummern der Charaktere an den Knoten und Kanten des Brauerbaums von $ON$, Primzahl 11, Block 1

Knoten-Nr.	CAS-Nr.		( $\hat{\chi}_i$)	Grad
1	1			1
2	2			10944
3	10			37696
4	15			58653
5	18			85064
6	23			175616
7	24			175616
8	25			175770
9	26			207360
10	27			207360
11	28			207360

Kanten-Nr.		($\varphi_i$)	Grad
1			1
2			10787
3			10943
4			26909
5			31744
6			42533
7			74277
8			133083
9			164827
10			175616

Es gibt zwei Bahnen algebraisch konjugierter Charaktere:

1.

Die erste Bahn enthält die Charaktere $\hat{\chi}_{23}$ und $\hat{\chi}_{24}$, dies sind die Knoten $\{b_1,b_2\} = \{6,7\}$. Die Charaktere $\hat{\chi}_{23}$ und $\hat{\chi}_{24}$ unterscheiden sich nur auf den 15er-Klassen $\{$15A, 15B$\}$.

2.

Die zweite Bahn enthält die Charaktere $\hat{\chi}_{26}$, $\hat{\chi}_{27}$ und $\hat{\chi}_{28}$, dies sind die Knoten $\{a_1,a_2,a_3\} = \{9, 10, 11\}$. Diese Charaktere unterscheiden sich nur auf den 19er-Klassen $\{$19A, 19B, 19C$\}$.

In [HL89] wurde oBdA.angenommen, daß $\hat{\chi}_{23}$ links von $\hat{\chi}_{24}$, sowie $\hat{\chi}_{26}$ links von $\hat{\chi}_{27}$ und $\hat{\chi}_{28}$ auf dem Brauerbaum liegt. Diese Annahmen können hier nicht gemacht werden, da (in Abschnitt 2.3.2) Vertreter für die Konjugiertenklassen festgelegt wurden. Werden die Vertreter der Konjugiertenklassen vertauscht, so führt dies zu einer anderen Verteilung der Knoten am Brauerbaum. Dazu siehe auch Abschnitt 3.1.3. Daher bleiben $12 = 6\cdot 2$ mögliche Brauerbaum-Kandidaten übrig, die zu untersuchen sind.