Rekonstruktion des Brauerbaums

In Tabelle 3.9 sind vier projektive Charaktere $\Phi_1,\dots,\Phi_4$ und deren Zerlegung in die irreduziblen gewöhnlichen Charaktere des ersten Blocks angegeben. Die Tabelle ist aus [HL89] entnommen. Aus diesen projektiven Charakteren können die Brauerbaum-Kandidaten rekonstruiert werden:

Tabelle 3.9: Projektive Charaktere von $ON$, Primzahl 11, Block 1

Nr.:	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Typ:	$\times$	$\circ$	$\circ$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\circ$	$\circ$	$\circ$
$\Phi_1 := \chi_{35}\otimes\chi_{36}$	1	1
$\Phi_2 := \chi_{35}\otimes\chi_{38}$		1						1
$\Phi_3 := \chi_{31}\otimes\chi_{40}$					1	1	1		1	1	1
$\Phi_4 := \chi_2\otimes \chi_3$		5	11	18	26	56	56	58	66	66	66

Man sieht (z.B.nach [CCN$^$85]), daß alle irreduziblen gewöhnlichen Charaktere des ersten Blocks reelle Charakterwerte habe. Nach Satz 1.3.3 ist der Brauerbaum also eine gerade Linie.

Mit $\Phi_1$ folgt, daß die Knoten 1 und 2 Nachbarn sind. Mit $\Phi_2$ folgt, daß 2 und 8 benachbart sind. Mit (1.4) für $\Phi=\Phi_4$ und $\chi=\chi_8$ folgt, daß 8 und $a$ für $a\in\{9,10,11\}$ benachbart sind. Dies ergibt bis jetzt den folgenden Teilbaum:

Der durch

$$\Phi_5 := \Phi_4 - 5(\chi_2+\chi_8) - 53(\chi_8+\chi_a) = \Phi_4 - 5\chi_2 - 58\chi_8 - 53\chi_a.$$

definierte Charakter ist nach (1.6) wieder ein projektiver Charakter.

Nr.:	1	2	3	4	5	$b$	$b'$	8	$a$	$a'$	$a''$
Typ:	$\times$	$\circ$	$\circ$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\circ$	$\circ$	$\circ$
$\Phi_5$			11	18	26	56	56		13	66	66

Da der Nachbar von Knoten $a$ vom Typ $\times$ sein muß, gibt es die drei Möglichkeiten 4, 5 und $b$ mit $b\in\{6,7\}$.

1.

4 kann nicht zu $a$ benachbart sein, da $(\Phi_3,\chi_4) = (\Phi_3,\chi_8) = 0$ aber $(\Phi_3,\chi_a)=1$ für alle $a\in\{9,10,11\}$. Dies ist ein Widerspruch zu (1.4).

2.

Betrachte den Fall, daß 5 benachbart zu $a$ ist. Es gilt $(\phi_5,\chi_5) = 26$. Mit $\Phi_5$ und (1.4), folgt dann, daß der andere Nachbar von 5 ein $a'$ mit $a' \in \{9,10,11\} \setminus \{a\}$ ist, da 3 der einzige andere Knoten vom Typ $\circ$ ist, aber $(\Phi_5,\chi_3) + (\Phi_5,\chi_a) = 11+13 = 24 < 26 = (\Phi_5,\chi_5)$. Ebenso folgt, daß dann $b$ mit $b\in\{6,7\}$ der andere Nachbar von $a'$ ist, den bisherigen Informationen folgt, daß der Baum die folgenden Form hat:

Nach (1.6) ist

$$\Phi' := \Phi_5 - 13(\chi_a + \chi_5) - 13(\chi_5 + \chi_{a'}) - 53(\chi_{a'} + \chi_b) = \Phi_5 - 13\chi_a - 26\chi_5 - 66\chi_{a'} - 53\chi_b$$

ein projektiver Charakter.

Nr.:	1	2	3	4	5	$b$	$b'$	8	$a$	$a'$	$a''$
Typ:	$\times$	$\circ$	$\circ$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\circ$	$\circ$	$\circ$
$\Phi'$			11	18		3	56				66

Mit $\Phi'$ und (1.4) läßt sich nun ausschließen, daß $a''$ Nachbar von $b$ ist. Also ist $3$ Nachbar von $b$. Als Nachbar der 3 kann nun entweder der Knoten 4 oder der Knoten $b'$ mit $b'\in\{6,7\} \setminus \{b\}$ sein.

• Der Fall, daß Knoten 4 Nachbar von 3 ist liefert dann sofort mit $\Phi'$ den Brauerbaum-Kandidaten:
  
  
  
• Der Fall, daß Knoten $b'$ Nachbar von 3 ist liefert sofort mit $\Phi'$ den Brauerbaum-Kandidaten:
  
  
  

Diese beiden Kandidaten können mit den vorhandenen projektiven Charakteren nicht ausgeschlossen werden.

3.

Betrachte nun den Fall, daß $b$ mit $b\in\{6,7\}$ Nachbar von $a$ ist. Mit $\Phi_5$ und (1.4) folgt dann sofort, daß $a'$ mit $a' \in \{9,10,11\} \setminus \{a\}$ Nachbar von $b$ ist:

Nach (1.6) ist

$$\Phi'' := \Phi_5 - 13(\chi_a + \chi_b) - 43(\chi_b + \chi_{a'}) = \Phi_5 - 13\chi_a - 56\chi_b - 43\chi_{a'}$$

ein projektiver Charakter.

Nr.:	1	2	3	4	5	$b$	$b'$	8	$a$	$a'$	$a''$
Typ:	$\times$	$\circ$	$\circ$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\circ$	$\circ$	$\circ$
$\Phi''$			11	18	26		56			23	66

Als Nachbar von Knoten $a'$ kommen zunächst die Knoten 5 und $b'$ mit $b'\in\{6,7\} \setminus \{b\}$ in Frage.

Angenommen $b'$ Nachbar ist Nachbar von $a'$. Nach (1.6) ist dann

$$\Phi''' = \Phi''-(\Phi'',\chi_{a'})(\chi_{a'}+\chi_{b'}) = \Phi''- 23(\chi_{a'}+\chi_{b'})$$

ein projektiver Charakter, gilt $(\Phi''',\chi_{b'}) = 33$ und damit kommt nur $a''$ mit $a''\in \{9,10,11\} \setminus \{a,a'\}$ als Nachbar von $b'$ in Frage. Aber es gilt nun

$$(\Phi''',\chi_{a''}) = 66 > (\Phi''',\chi_{b'}) + \max_i(\Phi''',\chi_i) = 33 + 26,$$

was ein Widerspruch zu (1.4) ist.

Somit folgt, daß 5 benachbart zu $a'$ ist. Mit (1.6) bleibt $\chi_5$ mit Vielfachheit 3 zurück. Zunächst kommen die Knoten $a''$ und $3$ als Nachbarn von $5$ in Frage. Der Knoten $a''$ läßt sich als Nachbar von $5$ aber wie oben ausschließen. Also ergibt sich der folgende Baum:

Nach (1.6) ist

$$\Phi''' := \Phi'' - 23(\chi_5+\chi_{a'}) - 3(\chi_5+\chi_3) = \Phi'' - 23\chi_5 -26\chi_{a'} - 3\chi_3$$

ein projektiver Charakter.

Nr.:	1	2	3	4	5	$b$	$b'$	8	$a$	$a'$	$a''$
Typ:	$\times$	$\circ$	$\circ$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\circ$	$\circ$	$\circ$
$\Phi'''$			8	18			56				66

Der Nachbar von 3 kann nun der Knoten 4 oder der Knoten $b'$ sein.

• Der Fall, daß 4 der Nachbar von Knoten 3 ist, liefert den Brauerbaum-Kandidaten
  
  
  
• Der Fall, daß $b'$ der Nachbar von Knoten 3 ist, liefert den Brauerbaum-Kandidaten
  
  
  

Auch diese beiden Kandidaten können mit den vorhandenen projektiven Charakteren nicht ausgeschlossen werden.

Insgesamt bleiben die folgenden vier Kandidaten übrig, die mit allen angegebenen projektiven Charakteren konsistent sind:

$$\setlength{\unitlength}{1mm}\begin{picture} (110,10) \put(5,1){\l... ...95,3){\makebox(0,0)[b]{$a''$}} \put(105,3){\makebox(0,0)[b]{$4$}} \end{picture}$$ (3.1)

$$\setlength{\unitlength}{1mm}\begin{picture} (110,10) \put(5,1){\l... ...5,3){\makebox(0,0)[b]{$a''$}} \put(105,3){\makebox(0,0)[b]{$b'$}} \end{picture}$$ (3.2)

$$\setlength{\unitlength}{1mm}\begin{picture} (110,10) \put(5,1){\l... ...5,3){\makebox(0,0)[b]{$a''$}} \put(105,3){\makebox(0,0)[b]{$b'$}} \end{picture}$$ (3.3)

$$\setlength{\unitlength}{1mm}\begin{picture} (110,10) \put(5,1){\l... ...t(95,3){\makebox(0,0)[b]{$a''$}} \put(105,3){\makebox(0,0)[b]{4}} \end{picture}$$ (3.4)

In [HL89] werden die Kandidaten (3.1), (3.3) und (3.4) mit Hilfe der Green-Korrespondenz ausgeschlossen. In Abschnitt 3.1.5 zeige ich unabhängig von der Green-Korrespondenz allein mit Hilfe der Kondensation von Permutationsmoduln, daß diese Kandidaten falsch sind.