Rekonstruktionen der Brauerbäume

In [HL89] werden die Brauerbaum-Kandidaten, die meinen Beweisen in Kapitel 3 zugrunde liegen, mit Hilfe von verschiedenen projektiven Charakteren bestimmt. Einen Ausschnitt der Theorie, die für die Konstruktion dieser Kandidaten benötigt wird, gebe ich hier an. Im Kapitel 3 werde ich exemplarisch an zwei Beispielen die Argumentation mit diesen Mitteln nachvollziehen. Bei den anderen Bäumen kann man analog oder wie in [HL89] angegeben vorgehen.

Für $z\in{\protect \mathbb{Z}}$ und eine Primzahl $p$ seien $x\in{\protect \mathbb{Z}}$ und $d\in {\protect \mathbb{N}}$ mit $z = x\cdot p^d\in{\protect \mathbb{Z}}\setminus\{0\}$ und $p\nmid x$. Dann definiere $\nu_p(z) := d$. Dies ist gerade der Exponent der $(p)$-adischen Bewertung über ${\protect \mathbb{Z}}$, vergleiche auch Beispiel 1.1.1.

1.3.1 Satz   Sei $B$ ein Block mit zyklischer Defektgruppe der Ordnung $p^d$, $p>2$ und $\nu_p(\vert G\vert) = a$. Dann gilt:

1.

$\nu_p(\chi(1)) = a-d$ für $\chi\in\operatorname{Irr}(B)$.

2.

Seien $\chi,\psi\in\operatorname{Irr}_0(B)$ und $\chi+\psi\in\operatorname{Proj}(B)$. Falls $\chi(1) = p^{a-d}q_\chi$ und $\psi(1) = p^{a-d}q_\psi$, so ist $q_\chi+q_\psi \equiv 0 \mod{p^d}$.

Beweis:

1.

Siehe [Fei82, Theorem VII,2.16, Seite 278].

2.

Da $\chi+\psi$ projektiv ist, folgt $p^a\mid \chi(1)+\psi(1)$.

Mit diesem Satz und Satz 1.2.4 folgt, daß die Knoten eines Brauerbaums in zwei Mengen $N_1$ und $N_2$ unterteilt werden können, so daß die Charaktere, deren Charaktergrade modulo $p^d$ gleichen $p'$-Anteil haben, zu einer Menge gehören. Entsprechend diesen Mengen werden die Knoten des Brauerbaums mit $\circ\glossary{$\circ$>Knotentyp ,,Null\lq\lq }$ (Typ Null) und $\times\glossary{$\times$>Knotentyp ,,Kreuz\lq\lq }$ (Typ Kreuz) gekennzeichnet. Der triviale Charakter habe immer Typ $\times$. Damit ist klar, daß nur Knoten von unterschiedlichem Typ eine gemeinsame Kante haben können.

In [HL89, Lemma 5.3.3, Seite 61] ist das folgende Lemma angegeben, mit denen die Brauerbäume rekonstruiert werden können.

1.3.2 Lemma   Sei $\Phi$ ein projektiver Charakter in einem Block mit zyklischer Defektgruppe. Sei $\chi$ ein Charakter an einem Knoten des Brauerbaums und seien $\psi_1,\dots,\psi_n$ die Charaktere aller benachbarten Knoten. Dann gilt

$$\sum_{i=1}^n (\Phi,\psi_i) \geq (\Phi,\chi).$$ (1.4)

Falls Gleichheit gilt, so ist

$$\Phi_1 := \Phi-(\Phi,\chi)\chi - \sum_{i=1}^n (\Phi,\psi_i)\psi_i$$ (1.5)

ein projektiver Charakter. Ist $(\Phi,\psi_i) = 0$ für $1\leq i < n$, so ist

$$\Phi_2 := \Phi-(\Phi,\chi)(\chi + \psi_n)$$ (1.6)

projektiv.

Beweis:Sei $\Phi = \sum_{i=1}^n m_i(\chi+\psi_i) + \Phi_0$, wobei $\Phi_0$ ein projektiver Charakter ist, in dem $\chi$ kein Konstituent ist. Dann ist $(\Phi,\chi) = \sum_{i=1}^n m_i$ und damit folgt die Behauptung.

1.3.3 Satz   Sei $B$ ein Block von zyklischem Defekt, $\alpha$ ein Automorphismus von $G$, so daß $B$ invariant unter der Komposition von $\alpha$ und der komplexen Konjugation ist.

1.

Die Knoten, die zu den invarianten gewöhnlichen irreduziblen Charakteren und die Kanten, die zu den invarianten irreduziblen Brauercharakteren gehören, bilden einen verbundenen Teilgraphen von $\Gamma_B$, der eine gerade Linie ist.

2.

Die Komposition von $\alpha$ und der komplexen Konjugation induziert einen Graph-Automorphismus.

Beweis:Siehe [HL89, Theorem 2.1.21]

Mit diesen Methoden erhält man aus einer Menge von projektiven Charakteren und deren Zerlegung in die irreduziblen gewöhnlichen Charaktere des Blocks eine Menge von Brauerbaum-Kandidaten.