Die Brauerbäume

1.2.1 Definition   Seien $e_0,e\in A$ zwei primitive Idempotente. $e_0$ und $e$ heißen verbunden, wenn es eine Menge von primitiven Idempotenten $e_0,e_1,\dots,e_n=e$ gibt, so daß $e_{i-1}A$ und $e_iA$ für jedes $i=1,\dots,n$ einen gemeinsamen Kompositionsfaktor haben.

1.2.2 Satz   Seien $e_0$ und $e$ zwei primitive Idempotente. Dann sind $eA$ und $e_0A$ genau dann verbunden, wenn sie in einem Block liegen.

Beweis:Siehe z.B.[Fei82, Theorem I,13.11, Seite 45].

1.2.3 Definition   Sei $B$ ein Block der Gruppe $G$ mit positivem Defekt. Der Brauer-Graph $\Gamma_B\glossary{$\Gamma_B$>Brauer-Graph des Blocks $B$}$ von $B$ ist wie folgt definiert:
Es gibt eine Bijektion zwischen der Menge der auf $G_{p'}$ eingeschränkten irreduziblen gewöhnlichen Charaktere $\operatorname{Res}(B)$ und den Knoten von $\Gamma_B$. Zwei Knoten sind durch eine Kante verbunden, wenn sie verschieden sind und wenn es einen irreduziblen Brauercharakter $\varphi\in\operatorname{IBr}(G)$ gibt, der gemeinsamer Konstituent der eingeschränkten gewöhnlichen Charaktere $\hat{\chi},\hat{\psi}\in \operatorname{Res}(B)$ ist, $d_{\chi,\varphi}\not=0$ und $d_{\psi,\varphi}\not=0$ gilt.

Eine Folgerung aus dem nächsten Satz ist, daß eine Bijektion zwischen den Kanten des Brauer-Graphen und den irreduziblen Brauercharakteren existiert. Der Satz wurde ursprünglich von Brauer (1941) für Blöcke von Defekt 1 gezeigt und von Dade (1966) erweitert für Blöcke mit beliebigem zyklischen Defekt - siehe [HL89, Theorem 2.1.5, Seite 13f].

1.2.4 Satz   Es sei $B$ ein Block mit zyklischer Defektgruppe von Ordnung $p^d$. Dann existieren $m \mid (p-1)$ irreduzible Brauercharaktere $\varphi_1,\dots,\varphi_m$ in $B$. Die Anzahl der gewöhnlichen irreduziblen Charaktere in $B$ ist $m + \frac{p^d-1}{m}$. Diese Charaktere werden mit $\chi_1,\dots\chi_m,\chi_\lambda$, mit $\lambda\in\Lambda$ bezeichnet, wobei $\Lambda$ eine Indexmenge mit $\vert\Lambda\vert = \frac{p^d-1}{m}$ ist. Die $\chi_\lambda$, für $\lambda\in\Lambda$, werden exzeptionelle Charaktere in $B$ genannt. Diese schränken auf den $p'$-Klassen gleich ein. Definiere $\chi_{m+1} = \sum_{\lambda\in\Lambda} \chi_\lambda$ und schreibe $\operatorname{Irr}_0(B)\glossary{$\operatorname{Irr}_0(B)$>$!= \{\chi_1,\dots,\chi_{m+1}\}$} := \{\chi_1,\dots,\chi_{m+1}\}$.

Sei $\Phi_i$ der gewöhnliche Charakter des projektiven unzerlegbaren Moduls $P_i$, der zum Brauercharakter $\varphi_i$ gehört. Dann existieren $i_1,i_2\in\{1,\dots,m+1\}$, $i_1\not= i_2$, so daß

$$\Phi_i = \chi_{i_1} + \chi_{i_2}.$$

Beweis:Siehe z.B.[Fei82, Theorem VII,2.12 und Theorem VII,2.15, Seite 277f].

Mit diesem Satz folgt, daß jeder Brauercharakter $\varphi_i$ für $i\in\{1,\dots,m+1\}$ ein irreduzibler Konstituent nur von $\chi_{i_1}$ und $\chi_{i_2}$ (mit Vielfachheit 1) ist. Ist $\Phi_i$ ein projektiver unzerlegbarer Charakter in Block $B$, so folgt mit der Brauerreziprozität, daß $\Phi_i = \sum_{\chi_j\in\operatorname{Irr}(B)} d_{ji}\chi_j$ gilt (siehe auch [CR62, Theorem (83.9), Seite 593]). Somit folgt, daß $\chi_i+\chi_j$ genau dann projektiv ist, wenn $\hat{\chi}_i$ und $\hat{\chi}_j$ einen gemeinsamen Brauercharakter als Konstituenten haben.

Eine Folgerung aus dem Satz 1.2.4 ist der folgende Satz.

1.2.5 Satz   Ist $\delta(B)$ zyklische Defektgruppe, so ist der Brauer-Graph von $B$ ein Baum, Graph enthält keine Kreise. Dann wird der Brauer-Graph auch Brauerbaum genannt.

Beweis:Siehe z.B.[Fei82, Lemma VII,6.4, Seite 300].

1.2.6 Bemerkung
Es gilt

$$\vert ON\vert = 460\,815\,505\,920 = 2^9 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7^3 \cdot 11^1 \cdot 19^1 \cdot 31^1.$$

Also sieht man direkt, daß in Charakteristik $p\in\{11,19,31\}$ die Defektgruppen eines Blockes mit positivem Defekt von $ON$ bzw. $3.ON$ zyklisch von Ordnung $p$ sind.